🦞 定积AI · 图说高数 · 第11章 无穷级数

第11章 · 无穷级数：章地图图解

先选维度再找题：按题型 / 认知层级 / 判别方法筛选；每题按自身题型取图式子集（还原 / 分解 / 条件检验 / 过程 / 区间 / 路径 / 雷区），不硬凑八式；师生双视图同源一份。
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方法地图 · 见招拆招总表
识别特征 → 判别方法 → 实例 ｜ 与各题方法矩阵同源（口径唯一）
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题型
认知层级
判别方法
01
判断级数 ∑n=1∞1n(n+1)\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n(n+1)} 是否收敛
题库题号 12-1 ｜ 部分和·裂项相消 ｜ 题型 判断 ｜ 记忆 ｜ 图组 7 张
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02
判断 ∑n=1∞(−1)n−11n\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\dfrac{1}{n} 的收敛性
题库题号 12-2 ｜ 交错级数·Leibniz ｜ 题型 判断 ｜ 记忆 ｜ 图组 6 张
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03
用比值判别法判断 ∑n=1∞xnn!\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^{n}}{n!} 的收敛半径
题库题号 12-3 ｜ 比值法求半径 ｜ 题型 判断 ｜ 记忆 ｜ 图组 7 张
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04
将 f(x)=exf(x)=e^{x} 展开为 xx 的幂级数
题库题号 12-4 ｜ Maclaurin 展开 ｜ 题型 展开 ｜ 理解 ｜ 图组 5 张
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05
求幂级数 ∑n=1∞xnn\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^{n}}{n} 的收敛半径和收敛域
题库题号 12-5 ｜ 收敛半径·端点 ｜ 题型 计算 ｜ 理解 ｜ 图组 5 张
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06
判断 ∑n=2∞1nln⁡n\sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{n\ln n} 的敛散性
题库题号 12-6 ｜ 积分判别法 ｜ 题型 判断 ｜ 理解 ｜ 图组 6 张
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07
判断 ∑n=1∞1n2+1\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2+1} 收敛性
题库题号 12-7 ｜ 比较判别法 ｜ 题型 计算 ｜ 理解 ｜ 图组 4 张
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08
将函数f(x)=1/(x2−3x+2)f(x)=1/(x^{2}-3x+2)展开为x的幂级数，并指出收敛域。
题库题号 12-8 ｜ 部分分式·幂级数展开 ｜ 题型 计算 ｜ 分析 ｜ 图组 4 张
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09
设 f(x)f(x) 是周期为 2π2\pi 的函数，在 [−π,π)[-\pi,\pi) 上 f(x)=x2f(x)=x^2，求其傅里叶级数。
题库题号 12-9 ｜ 傅里叶级数（偶） ｜ 题型 计算 ｜ 应用 ｜ 图组 4 张
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10
设 f(x)=x(π−x)f(x)=x(\pi-x)，0≤x≤π0\le x\le\pi，将 f(x)f(x) 展开为以 2π2\pi 为周期的正弦级数，并利用该展开式求 ∑n=1∞1(2n−1)3\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^3} 的值。
题库题号 12-10 ｜ 正弦级数·奇延拓 ｜ 题型 证明 ｜ 创造 ｜ 图组 4 张
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11
将 f(x)=xf(x)=x 在 (−π,π)(-\pi,\pi) 上展开成傅里叶级数，并求 ∑(−1)n+1n=ln⁡2\sum\frac{(-1)^{n+1}}{n}=\ln2。
题库题号 12-11 ｜ 傅里叶级数（奇） ｜ 题型 计算 ｜ 分析 ｜ 图组 4 张
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12
证明函数项级数 ∑n=1∞xnn2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n^2} 在 [−1,1][-1,1] 上一致收敛。
题库题号 12-12 ｜ Weierstrass M-判别法 ｜ 题型 证明 ｜ 创造 ｜ 图组 4 张
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13
判断 ∑n=1∞n!nn\sum_{n=1}^\infty\frac{n!}{n^n} 收敛性
题库题号 12-13 ｜ 比值法·阶乘型 ｜ 题型 计算 ｜ 应用 ｜ 图组 4 张
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14
求幂级数 ∑n=1∞xnn\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n} 的收敛域与和函数
题库题号 12-14 ｜ 幂级数·收敛域与和函数 ｜ 题型 计算 ｜ 分析 ｜ 图组 4 张
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15
设 f(x)f(x) 是周期为 2π2\pi 的奇函数，在 [0,π][0,\pi] 上 f(x)=xf(x)=x，求其傅里叶级数。
题库题号 12-15 ｜ 傅里叶级数（奇） ｜ 题型 计算 ｜ 应用 ｜ 图组 4 张
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16
将f(x)=x2f(x)=x^{2}在[-π,π]上展开为傅里叶级数，其系数a0=a_{0}=____。
题库题号 12-16 ｜ 傅里叶系数 a₀ ｜ 题型 计算 ｜ 综合 ｜ 图组 4 张
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17
求幂级数 ∑n=1∞xnn⋅2n\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n\cdot2^n} 的和函数。
题库题号 12-17 ｜ 变量替换·和函数 ｜ 题型 计算 ｜ 应用 ｜ 图组 4 张
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18
判断：若函数项级数 ∑un(x)\sum u_n(x) 在区间 II 上一致收敛，则它在 II 上必逐点收敛。
题库题号 12-18 ｜ 一致收敛概念 ｜ 题型 判断 ｜ 创造 ｜ 图组 4 张
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19
判断级数 ∑n=1∞(nn+1)n2\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^2} 的敛散性。
题库题号 12-19 ｜ 根值法·指数型 ｜ 题型 计算 ｜ 应用 ｜ 图组 4 张
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20
求幂级数 ∑n=1∞(−1)nx2nn\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{n} 的收敛半径和收敛域。
题库题号 12-20 ｜ 缺项幂级数·换元 ｜ 题型 计算 ｜ 应用 ｜ 图组 4 张
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21
函数 f(x)=arctan⁡xf(x) = \arctan x 的麦克劳林展开式中 x7x^7 项的系数为 ‾\underline{\hspace{2.5cm}}。
题库题号 12-21 ｜ 麦克劳林系数速查 ｜ 题型 计算 ｜ 应用 ｜ 图组 4 张
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22
求函数 f(x)=xf(x) = x 在区间 [−π,π][-\pi, \pi] 上的傅里叶级数。
题库题号 12-22 ｜ 傅里叶级数（奇） ｜ 题型 计算 ｜ 分析 ｜ 图组 4 张
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23
将 f(x)=arctan⁡xf(x)=\arctan x 展开成 xx 的幂级数，并求 ∑n=0∞(−1)n2n+1=π4\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2n+1}=\frac\pi4。
题库题号 12-23 ｜ 间接展开·逐项积分 ｜ 题型 计算 ｜ 分析 ｜ 图组 4 张
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24
求函数项级数 ∑n=0∞xn\sum_{n=0}^{\infty}x^n 的收敛域。
题库题号 12-24 ｜ 等比级数·收敛域 ｜ 题型 计算 ｜ 应用 ｜ 图组 4 张
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25
级数 ∑n=1∞1np\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} 收敛的条件是（ ）
题库题号 12-25 ｜ p-级数判据 ｜ 题型 判断 ｜ 记忆 ｜ 图组 4 张
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26
求幂级数 ∑n=0∞x2nn!\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n}}{n!} 的和函数
题库题号 12-26 ｜ 和函数·指数母级数 ｜ 题型 计算 ｜ 应用 ｜ 图组 4 张
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27
将 f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x 展开成 xx 的幂级数（麦克劳林级数）。
题库题号 12-27 ｜ 麦克劳林·sin x ｜ 题型 计算 ｜ 记忆 ｜ 图组 4 张
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28
设f(x)=x3f(x)=x^{3}，将f(x)在[-π,π]上展开为傅里叶级数，并利用结果求∑n=1∞(−1)n−1/n3\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}/n^{3}的值。
题库题号 12-28 ｜ 傅里叶·x³ 与数项级数 ｜ 题型 计算 ｜ 综合 ｜ 图组 4 张
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29
判断级数 ∑n=1∞(n!)2(2n)!\sum_{n=1}^\infty\frac{(n!)^2}{(2n)!} 的收敛性。
题库题号 12-29 ｜ 比值法·双阶乘 ｜ 题型 判断 ｜ 应用 ｜ 图组 4 张
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30
幂级数 ∑n=1∞xnn\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n} 的收敛域为 \_\_\_\_。
题库题号 12-30 ｜ 幂级数收敛域·端点判别 ｜ 题型 计算 ｜ 应用 ｜ 图组 4 张
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没有符合条件的题目。