题 干
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{n}$ 的收敛半径和收敛域。
图一还原图先把「有什么」摆出来
教师点题：令 t=x²，化为标准幂级数再求半径。
学生换元后求 t 的半径 R_t=1。
图二过程图标准解答逐步（题库真题自带）
标准解答（题库真题自带，逐步可核验）
- 令 $t=x^2$，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} t^n$，收敛半径 $R_t=1$，所以 $x^2<1$ 即 $|x|<1$，$R_x=1$。
- 端点：$x=1$ 得 $\sum \frac{(-1)^n}{n}$ 收敛；$x=-1$ 同，故收敛域 $[-1,1]$。
教师强调：换元后端点要回代到 x 上判。
学生核对两端点。
图三雷区图错在哪一步（真实数据接入位）
雷区数据接入位 本图用于把「最易错处」钉在图上的具体位置；错误率来自题库作答聚合（脱敏·按知识点「幂级数」）。
本知识点真实错误率：数据接入后显示（暂无则不显示，绝不编造）。
教师只点典型错误、不点名。
学生对照自查：这几个位置我有没有踩坑？
图四认知层级图本题落在 Bloom 哪一层
教师据此定课堂标高：只到「应用」的题，不拔到「评价」。
学生知道要练到哪一层：会算 ≠ 会用。
🎯 同型题 · 同考场（Ch7 幂级数 · 题库真题 105 道，取 4 道 · 可溯源 id，非本题改编）
幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}$ 的收敛半径为 $\underline{\hspace{2cm}}$，收敛区间为 $\underline{\hspace{2cm}}$。
看答案
$R=1$，收敛区间 $[-1,1)$
幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}2^n x^n$ 的收敛半径为 $\underline{\hspace{2cm}}$。
看答案
$\frac{1}{2}$
幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n^2}$ 的收敛半径为 $\underline{\hspace{2cm}}$。
看答案
$1$
设幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}a_nx^n$ 在 $x = -2$ 处收敛，在 $x = 3$ 处发散，则其收敛半径 $R$ 满足
看答案
B
做法同源：识别特征 → 判别方法 → 验算。答案可折叠，先自己做再看；错误率来自训练记录（样本不足则留白，绝不编造）。