题 干
设 $f(x)$ 是周期为 $2\pi$ 的奇函数，在 $[0,\pi]$ 上 $f(x)=x$，求其傅里叶级数。
图一还原图先把「有什么」摆出来
教师点题：先判奇偶 —— 奇函数 ⇒ 正弦级数。
学生写出 $b_n=\frac2\pi\int_0^\pi x\sin nx\,dx$。
图二过程图标准解答逐步（题库真题自带）
标准解答（题库真题自带，逐步可核验）
- $f(x)$ 是奇函数，所以 $a_n=0$。
- $b_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi x \sin nx dx$。
- 分部积分：$\int x \sin nx dx = -\frac{x}{n} \cos nx + \frac{1}{n^2} \sin nx + C$。
- 代入上下限得 $b_n = \frac{2}{\pi} \left[ -\frac{\pi}{n} \cos n\pi \right] = \frac{2}{n} (-1)^{n+1}$。
- 所以傅里叶级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin nx = 2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin nx$。
教师强调 $\cos n\pi=(-1)^n$ 的符号搬运。
学生复算 $b_n$，核对 $(-1)^{n+1}$ 的指数。
图三雷区图错在哪一步（真实数据接入位）
雷区数据接入位 本图用于把「最易错处」钉在图上的具体位置；错误率来自题库作答聚合（脱敏·按知识点「傅里叶级数」）。
本知识点真实错误率：数据接入后显示（暂无则不显示，绝不编造）。
教师只点典型错误、不点名。
学生对照自查：这几个位置我有没有踩坑？
图四认知层级图本题落在 Bloom 哪一层
教师据此定课堂标高：只到「应用」的题，不拔到「评价」。
学生知道要练到哪一层：会算 ≠ 会用。
🎯 同型题 · 同考场（Ch7 傅里叶级数 · 题库真题 21 道，取 3 道 · 可溯源 id，非本题改编）
将函数 $f(x) = \sin x$ 展开为 $x$ 的幂级数。
看答案
$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}$
将函数$f(x)=x^2$在区间[-π,π]上展开为傅里叶级数。
看答案
$\pi^2/3 + 4\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \cos(nx)/n^2$
求数项级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n}$的和。
看答案
3/4
做法同源：识别特征 → 判别方法 → 验算。答案可折叠，先自己做再看；错误率来自训练记录（样本不足则留白，绝不编造）。