题 干
设 $f(x)$ 是周期为 $2\pi$ 的函数，在 $[-\pi,\pi)$ 上 $f(x)=x^2$，求其傅里叶级数。
图一还原图先把「有什么」摆出来
教师点题：x² 是偶函数 ⇒ 只算 aₙ，bₙ=0。
学生写出 a₀、aₙ 的积分式。
图二过程图标准解答逐步（题库真题自带）
标准解答（题库真题自带，逐步可核验）
- $f(x)$ 是偶函数，所以 $b_n=0$。
- $a_0 = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi x^2 dx = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi^3}{3} = \frac{2\pi^2}{3}$。
- $a_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi x^2 \cos nx dx$。
- 分部积分：$\int x^2 \cos nx dx = \frac{x^2}{n} \sin nx + \frac{2x}{n^2} \cos nx - \frac{2}{n^3} \sin nx + C$。
- 代入上下限得 $a_n = \frac{2}{\pi} \left[ \frac{2\pi}{n^2} \cos n\pi \right] = \frac{4(-1)^n}{n^2}$。
- 所以傅里叶级数为 $\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos nx = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2} \cos nx$。
教师强调分部积分符号与 cos nπ=(−1)ⁿ。
学生重点核对 aₙ 里 (−1)ⁿ 是怎么来的。
图三雷区图错在哪一步（真实数据接入位）
雷区数据接入位 本图用于把「最易错处」钉在图上的具体位置；错误率来自题库作答聚合（脱敏·按知识点「傅里叶级数」）。
本知识点真实错误率：数据接入后显示（暂无则不显示，绝不编造）。
教师只点典型错误、不点名。
学生对照自查：这几个位置我有没有踩坑？
图四认知层级图本题落在 Bloom 哪一层
教师据此定课堂标高：只到「应用」的题，不拔到「评价」。
学生知道要练到哪一层：会算 ≠ 会用。
🎯 同型题 · 同考场（Ch7 傅里叶级数 · 题库真题 21 道，取 3 道 · 可溯源 id，非本题改编）
函数 $f(x)=x$ 在 $[-\pi,\pi]$ 上展开成傅里叶级数。
看答案
$2\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin nx$
$f(x)=x^2$ 在 $[-\pi,\pi]$ 上的傅里叶系数 $a_0$ 为____。
看答案
$\frac{2\pi^2}{3}$
函数 $f(x)=x$ 在 $(-\pi,\pi)$ 上展开成傅里叶级数，在 $x=\pi$ 处收敛于：
看答案
B
做法同源：识别特征 → 判别方法 → 验算。答案可折叠，先自己做再看；错误率来自训练记录（样本不足则留白，绝不编造）。