题 干
判断级数 $\sum_{n=1}^\infty\frac{(n!)^2}{(2n)!}$ 的收敛性。
图一还原图先把「有什么」摆出来
教师点题：阶乘型 ⇒ 比值法。
学生写出 $a_{n+1}/a_n$。
图二过程图标准解答逐步（题库真题自带）
标准解答（题库真题自带，逐步可核验）
- L4分析：用比值法。
- $\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim\frac{[(n+1)!]^2/(2n+2)!}{(n!)^2/(2n)!}=\lim\frac{(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)}=\frac14<1$，绝对收敛。
教师强调分母是两个相邻因子之积。
学生复算极限。
图三雷区图错在哪一步（真实数据接入位）
雷区数据接入位 本图用于把「最易错处」钉在图上的具体位置；错误率来自题库作答聚合（脱敏·按知识点「数项级数审敛」）。
本知识点真实错误率：数据接入后显示（暂无则不显示，绝不编造）。
教师只点典型错误、不点名。
学生对照自查：这几个位置我有没有踩坑？
图四认知层级图本题落在 Bloom 哪一层
教师据此定课堂标高：只到「应用」的题，不拔到「评价」。
学生知道要练到哪一层：会算 ≠ 会用。
🎯 同型题 · 同考场（Ch7 数项级数审敛 · 题库真题 21 道，取 3 道 · 可溯源 id，非本题改编）
设正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，且 $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = 1$。证明：$\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{a_n b_n}$ 收敛。
看答案
证明见解析
利用积分审敛法证明：$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(\ln n)^p}$ 当 $p>1$ 时收敛，当 $p\le 1$ 时发散。
看答案
证明见解析
设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 是任意项级数，且 $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} = l$。证明：
(1) 若 $l<1$，则 $\sum a_n$ 绝对收敛；
(2) 若 $l>1$，则 $\sum a_n$ 发散；
(3) 若 $l=1$，则 $\sum a_n$ 可能收敛也可能发散（举例说明）。
看答案
证明见解析
做法同源：识别特征 → 判别方法 → 验算。答案可折叠，先自己做再看；错误率来自训练记录（样本不足则留白，绝不编造）。