题 干
判断 $\sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{n\ln n}$ 的敛散性
图一还原图先把「有什么」摆出来
教师提示：看到 $\ln n$ 进分母，想积分判别。
学生写出 $f(x)=\dfrac{1}{x\ln x}$。
图二条件检验图积分判别法三条预检
积分判别法：f(x) 正、连续、单调递减 ⇒ ∑f(n) 与 ∫f 同敛散
| 条件 / 判据 | 结果 | 说明 |
|---|---|---|
| f(x)=1/(x ln x) 为正 | ✓ | x ≥ 2 |
| f 连续 | ✓ | x > 1 上连续 |
| f 单调递减 | ✓ | 可求导验证 |
| ∫₂^∞ dx/(x ln x) | = +∞ | 换元 t=ln x ⇒ ln(ln x)|₂^∞ |
| 积分发散 ⇒ 级数发散 | ✗ | 级数发散 |
教师现场做换元 $t=\ln x$，让学生看清 $\ln(\ln x)\to\infty$。
学生复算积分，明确「积分发散即级数发散」。
图三路径图本型题的决策步（来自分解库）
教师只点拨关键一步，其余留给学生补全。
学生按图逐步执行，把每步的中间结果写下来。
图四雷区图错在哪一步（真实数据接入位）
雷区数据接入位 本图用于把「最易错处」钉在图上的具体位置；错误率来自题库作答聚合（脱敏·按知识点「数项级数审敛」）。
本知识点真实错误率：数据接入后显示（暂无则不显示，绝不编造）。
教师小结只点典型错误、不点名；若某雷区错误率 > 40%，下节课开头加 3 分钟快问快答。
学生对照自查：这几个位置我有没有踩坑？
图五认知层级图本题落在 Bloom 哪一层
教师据此定课堂标高：只到「应用」的题，不拔到「评价」。
学生知道要练到哪一层：会算 ≠ 会用。
图六方法矩阵同型扫描：见到什么→用什么方法
教师用这张表带「方法选择」——不是背题，是见招拆招。
学生做完一题后对照：下次见到同类特征，能不能自己选方法？
🎯 同型题 · 同考场（Ch7 数项级数审敛 · 题库真题 21 道，取 3 道 · 可溯源 id，非本题改编）
判断以下说法是否正确："若正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2$ 也一定收敛。"
看答案
正确
判断：级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{n+1}$ 收敛。（回答“正确”或“错误”）
看答案
错误
判断级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{n!}{n^n}$ 的敛散性。
看答案
收敛（比值判别法，$\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac1e<1$）
做法同源：识别特征 → 判别方法 → 验算。答案可折叠，先自己做再看；错误率来自训练记录（样本不足则留白，绝不编造）。