题 干
用比值判别法判断 $\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^{n}}{n!}$ 的收敛半径
图一还原图先把「有什么」摆出来
教师提示：见到阶乘，先想比值。
学生写出通项 $a_n=\dfrac1{n!}$。
图二分解图比值链怎么收敛到 R
教师提醒：$\rho=0$ 不是算不出来，而是 $R=\infty$。
学生亲手算出比值并取极限。
图三关键点图ρ 一路掉到 0
教师反问：$\rho$ 越小说明收敛越快还是越慢？
学生写下「阶乘压过一切 $x^n$」。
图四路径图本型题的决策步（来自分解库）
教师只点拨关键一步，其余留给学生补全。
学生按图逐步执行，把每步的中间结果写下来。
图五雷区图错在哪一步（真实数据接入位）
雷区数据接入位 本图用于把「最易错处」钉在图上的具体位置；错误率来自题库作答聚合（脱敏·按知识点「幂级数」）。
本知识点真实错误率：数据接入后显示（暂无则不显示，绝不编造）。
教师小结只点典型错误、不点名；若某雷区错误率 > 40%，下节课开头加 3 分钟快问快答。
学生对照自查：这几个位置我有没有踩坑？
图六认知层级图本题落在 Bloom 哪一层
教师据此定课堂标高：只到「应用」的题，不拔到「评价」。
学生知道要练到哪一层：会算 ≠ 会用。
图七方法矩阵同型扫描：见到什么→用什么方法
教师用这张表带「方法选择」——不是背题，是见招拆招。
学生做完一题后对照：下次见到同类特征，能不能自己选方法？
🎯 同型题 · 同考场（Ch7 幂级数 · 题库真题 105 道，取 4 道 · 可溯源 id，非本题改编）
求幂级数 $\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n}}{n!}$ 的和函数
看答案
$e^{x^2}$
求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{(n+1)2^n}$ 的和函数。
看答案
$-\frac{2}{x}\ln\left(1-\frac{x}{2}\right)$，$|x|<2$，且 $S(0)=\frac12$
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n x^n$ 的和函数。
看答案
$\frac{x}{(1-x)^2}$，$|x|<1$
求幂级数 $\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n\cdot2^n}$ 的收敛半径和收敛区间。
看答案
$R=2$，$[-2,2)$
做法同源：识别特征 → 判别方法 → 验算。答案可折叠，先自己做再看；错误率来自训练记录（样本不足则留白，绝不编造）。