题 干
判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n(n+1)}$ 是否收敛
图一还原图先把「有什么」摆出来
教师只读题：通项是 1 除以「相邻两整数之积」，暗示裂项。
学生圈出通项结构，写下第一句猜想：能不能拆成两项之差？
图二分解图部分和怎么算出来的
教师先在黑板上写前 3 项，让学生看见 −1/2 与 +1/2 如何抵消。
学生自己写出 $S_n$，确认结果是 $1-\dfrac1{n+1}$（而非直接写 1）。
图三过程图部分和逼近极限
教师问：柱子会不会超过 1？为什么？引向「有上界 + 单调 ⇒ 收敛」。
学生读出每个柱子的高度（0.5、0.667、0.75…），说出「越来越接近 1」。
图四路径图本型题的决策步（来自分解库）
教师只点拨关键一步，其余留给学生补全。
学生按图逐步执行，把每步的中间结果写下来。
图五雷区图错在哪一步（真实数据接入位）
雷区数据接入位 本图用于把「最易错处」钉在图上的具体位置；错误率来自题库作答聚合（脱敏·按知识点「数项级数求和」）。
本知识点真实错误率：数据接入后显示（暂无则不显示，绝不编造）。
教师小结只点典型错误、不点名；若某雷区错误率 > 40%，下节课开头加 3 分钟快问快答。
学生对照自查：这几个位置我有没有踩坑？
图六认知层级图本题落在 Bloom 哪一层
教师据此定课堂标高：只到「应用」的题，不拔到「评价」。
学生知道要练到哪一层：会算 ≠ 会用。
图七方法矩阵同型扫描：见到什么→用什么方法
教师用这张表带「方法选择」——不是背题，是见招拆招。
学生做完一题后对照：下次见到同类特征，能不能自己选方法？
🎯 同型题 · 同考场（Ch7 数项级数求和 · 题库真题 38 道，取 4 道 · 可溯源 id，非本题改编）
求幂级数 $\sum_{n=0}^\infty (n+1)x^n$ 的和函数，并求收敛域。
看答案
$\frac{1}{(1-x)^2},\;|x|<1$
求幂级数 $\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n}$ 的和函数。
看答案
$-\ln(1-x),\;|x|<1$
幂级数 $\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}$ 的收敛半径是：
看答案
C
求级数 $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n}$ 的和。
看答案
$\ln2$
做法同源：识别特征 → 判别方法 → 验算。答案可折叠，先自己做再看；错误率来自训练记录（样本不足则留白，绝不编造）。