第11章 · 无穷级数：增强版强交互 · 全章 30 题

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n(n+1)}$ 是否收敛

判断 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\dfrac{1}{n}$ 的收敛性

用比值判别法判断 $\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^{n}}{n!}$ 的收敛半径

将 $f(x)=e^{x}$ 展开为 $x$ 的幂级数

求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^{n}}{n}$ 的收敛半径和收敛域

判断 $\sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{n\ln n}$ 的敛散性

判断 $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2+1}$ 收敛性

将函数$f(x)=1/(x^{2}-3x+2)$展开为x的幂级数，并指出收敛域。

设 $f(x)$ 是周期为 $2\pi$ 的函数，在 $[-\pi,\pi)$ 上 $f(x)=x^2$，求其傅里叶级数。

设 $f(x)=x(\pi-x)$，$0\le x\le\pi$，将 $f(x)$ 展开为以 $2\pi$ 为周期的正弦级数，并利用该展开式求 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^3}$ 的值。

将 $f(x)=x$ 在 $(-\pi,\pi)$ 上展开成傅里叶级数，并求 $\sum\frac{(-1)^{n+1}}{n}=\ln2$。

证明函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n^2}$ 在 $[-1,1]$ 上一致收敛。

判断 $\sum_{n=1}^\infty\frac{n!}{n^n}$ 收敛性

求幂级数 $\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n}$ 的收敛域与和函数

设 $f(x)$ 是周期为 $2\pi$ 的奇函数，在 $[0,\pi]$ 上 $f(x)=x$，求其傅里叶级数。

将$f(x)=x^{2}$在[-π,π]上展开为傅里叶级数，其系数$a_{0}=$____。

求幂级数 $\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n\cdot2^n}$ 的和函数。

判断：若函数项级数 $\sum u_n(x)$ 在区间 $I$ 上一致收敛，则它在 $I$ 上必逐点收敛。

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^2}$ 的敛散性。

求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{n}$ 的收敛半径和收敛域。

函数 $f(x) = \arctan x$ 的麦克劳林展开式中 $x^7$ 项的系数为 $\underline{\hspace{2.5cm}}$。

求函数 $f(x) = x$ 在区间 $[-\pi, \pi]$ 上的傅里叶级数。

将 $f(x)=\arctan x$ 展开成 $x$ 的幂级数，并求 $\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2n+1}=\frac\pi4$。

求函数项级数 $\sum_{n=0}^{\infty}x^n$ 的收敛域。

级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ 收敛的条件是（ ）

求幂级数 $\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n}}{n!}$ 的和函数

将 $f(x)=\sin x$ 展开成 $x$ 的幂级数（麦克劳林级数）。

设$f(x)=x^{3}$，将f(x)在[-π,π]上展开为傅里叶级数，并利用结果求$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}/n^{3}$的值。

判断级数 $\sum_{n=1}^\infty\frac{(n!)^2}{(2n)!}$ 的收敛性。

幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}$ 的收敛域为 \_\_\_\_。