🦞 定积AI · 图说高数 · 第11章 无穷级数

无穷级数 · 判断 ∑(−1)n−1⋅1n\sum (-1)^{n-1}\cdot\dfrac{1}{n} 的收敛性

考研难度掌握 · 3/6
第11章 无穷级数 ｜ 题库题号 12-2（可溯源）｜ 增强版：强交互 · 沉浸式 · 工程思维 · 考研难度 ｜ 师生双视图同源
载体：自绘 SVG · 增强版·零外链·数据不出本地
教师视图学生视图
题 干
判断 ∑n=1∞(−1)n−11n\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\dfrac{1}{n} 的收敛性
还原图部分和动画图（可播放）条件检验图路径图雷区图认知层级图方法矩阵
图一还原图先把「有什么」摆出来
已 知aₙ = (-1)ⁿ⁻¹ · (1/n)交错级数bₙ = 1/n所 求判收敛性（绝对 / 条件）缺口需架桥
符号交替、绝对值构成调和级数——本题要分别判自身与绝对值级数。
教师点题：交错级数有专门工具（Leibniz），但别急着用。
学生写出 bn=1nb_n=\dfrac1n，先做两条件预检。
图·部分和动画图（可播放）交互
点「播放」：部分和 Sₙ 逐项累加，看它是否稳定下来nS（部分和上限）
点「播放」：部分和 Sₙ 逐个累加，看它是否稳定。
教师：边播放边问「Sₙ 有没有上限」。
体会「收敛=部分和稳定」。
图二条件检验图Leibniz 两条件逐条打勾
Leibniz 判别法：∑(-1)ⁿ⁻¹bₙ 收敛 ⇐ bₙ 单调递减且 lim bₙ = 0
条件 / 判据结果说明
bₙ = 1/n > 0✓正项
bₙ 单调递减✓1/n ↓（n 越大越小）
lim bₙ = 0✓1/n → 0
⇒ 由 Leibniz，级数收敛✓自身收敛
∑|aₙ| = ∑1/n✗调和级数 → 发散
综合：条件收敛✓收敛但非绝对收敛
两条件全中 ⇒ 级数收敛；但绝对值级数发散 ⇒ 只能条件收敛。
教师强调「漏检绝对值」是最常见的失分点。
学生把六行按顺序读一遍，说出结论是「条件收敛」而非「绝对收敛」。
图三路径图本型题的决策步（来自分解库）
① 定型交错级数② 写 bₙbₙ=1/n③ 验两条件单调↓、→0④ 判收敛Leibniz⑤ 判绝对|·| 发散按序执行；每步产出一个可核验的中间结果。
五步决策：每步产出一个可核验的中间结果，最后一步落到结论。
教师只点拨关键一步，其余留给学生补全。
学生按图逐步执行，把每步的中间结果写下来。
图四雷区图错在哪一步（真实数据接入位）
雷区数据接入位　本图用于把「最易错处」钉在图上的具体位置；错误率来自题库作答聚合（脱敏·按知识点「数项级数审敛」）。
本知识点真实错误率：数据接入后显示（暂无则不显示，绝不编造）。
雷区图把「最容易错的地方」钉在图上的具体位置；错误率数据接入后显示。
教师小结只点典型错误、不点名；若某雷区错误率 > 40%，下节课开头加 3 分钟快问快答。
学生对照自查：这几个位置我有没有踩坑？
图五认知层级图本题落在 Bloom 哪一层
认知层级（Bloom）：本题在主序列中的位置记忆●理解●应用●分析评价创造绿=本题涉及；灰=本题不涉及（层级递进，但不要求每题都到顶）
本题涉及的认知层级（绿）——从「记忆」到「创造」逐级递进。
教师据此定课堂标高：只到「应用」的题，不拔到「评价」。
学生知道要练到哪一层：会算 ≠ 会用。
图六方法矩阵同型扫描：见到什么→用什么方法
方法选择矩阵：看识别特征 → 定判别方法 → 对到实例识别特征判别方法实例可裂项 1/n(n+1)部分和·裂项相消12-1交错 (-1)ⁿ⁻¹·bₙLeibniz 判别法本题 12-2 ★含 xⁿ/n!（幂级数）比值法求半径12-3对数型 1/(n·ln n)积分判别法12-6
把「同型题」按**判别方法**归类：识别特征 → 方法 → 实例，一眼看到方法选择逻辑。
教师用这张表带「方法选择」——不是背题，是见招拆招。
学生做完一题后对照：下次见到同类特征，能不能自己选方法？
🔗 同型题串联（练完这题接着练）：练同类 · 12-1 →练同类 · 12-3 →练同类 · 12-6 →
🎯 同型题 · 同考场（Ch7 数项级数审敛 · 题库真题 21 道，取 3 道 · 可溯源 id，非本题改编）
求幂级数 ∑n=1∞xnn⋅2n\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n\cdot2^n} 的和函数。
#HC0777-002 ｜ calc ｜ 进阶
看答案
−ln⁡(1−x2)-\ln(1-\frac{x}{2})
判断级数 ∑n=1∞(n!)2(2n)!\sum_{n=1}^\infty\frac{(n!)^2}{(2n)!} 的收敛性。
#HC0777-004 ｜ choice ｜ 进阶
看答案
A
判断 ∑n=2∞(−1)nln⁡n\sum_{n=2}^\infty\frac{(-1)^n}{\ln n} 的收敛性。
#HC0777-005 ｜ choice ｜ 进阶
看答案
C
做法同源：识别特征 → 判别方法 → 验算。答案可折叠，先自己做再看；错误率来自训练记录（样本不足则留白，绝不编造）。
⬆ 认知再上一级评价 / 创造 · 只增不改
⚖ 多解反思 · 解法比较（评价层）
做完别急着走，再问一层：回顾解题过程，总结关键步骤
能说清「为什么选它、别的为什么不行」，才算把方法用活。　溯源：题库 12-2 · thinking_guide.reflection
✍ 命题人 · 我来改一题（创造层）
试着把题改一处条件，编一个新题：尝试改变条件，构造新问题
能自己出题并给出答案，说明你摸到了这道题的「命门」。　溯源：题库 12-2 · thinking_guide.transfer
🔧 工程视角 · 学以致用（题库真题 #HC0776-025 ｜ 无穷级数）
工程问题→数学建模→级数工具→工程结论
某投资策略每年盈亏交替：第 11 年盈利 12\dfrac12 份本金、第 22 年亏损 14\dfrac14、第 33 年盈利 18\dfrac18……求累计盈亏的极限（∑n=1∞(−1)n+12n\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n+1}}{2^n}）。
看工程结论
13\dfrac13
把「无穷级数」落到一个真实工程/金融场景——这就是「学以致用」。
🎯 小试一刀 · 先想再对
判断 ∑n=1∞(−1)n−11n\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\dfrac{1}{n} 的收敛性
你自己做到哪一步？（如实自评，用于生成你的复习路径）
💡 交错级数收敛的莱布尼茨判别法
🎯 从会做 → 会迁移解题能力 · 只增不改
🔁 举一反三 · 同型变式回练
以下为本题的同型题（题库真源 · 可溯源）——先自己做，再展开答案：
  1. 判断级数 ∑n=1∞1n(n+1)\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n(n+1)} 是否收敛
    看答案对一对
    收敛（部分和 S_n = n/(n+1) → 1）
    题库 12-1 · 正项级数收敛
  2. 用比值判别法判断 ∑n=1∞xnn!\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^{n}}{n!} 的收敛半径
    看答案对一对
    R=∞（对所有 x 收敛）
    题库 12-3 · 正项级数收敛
  3. 判断 ∑n=2∞1nln⁡n\sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{n\ln n} 的敛散性
    看答案对一对
    发散（积分判别法）
    题库 12-6 · 数项级数
🧭 解题策略卡 · 识别式
拿到题先问自己：仔细分析题目条件，找出解题突破口
把「看见什么信号 → 想到什么方法」记成条件反射，比记题型更耐用。　溯源：题库 12-2 · thinking_guide.trigger
📈 考研真题角 · 命题规律（本题库真题 · 可溯源 id · 每页 2 道）
将 f(x)=exf(x)=e^{x} 展开为 xx 的幂级数
#12-4 ｜ 难度 6/6 ｜ 展开
看答案与命题人视角
e^x = ∑ x^n/n! = 1 + x + x²/2! + ...
命题人视角：级数章是「工具+综合」考点——判别法选择、收敛域端点、和函数构造常与微分方程/积分交叉命题。
设 f(x)=x(π−x)f(x)=x(\pi-x)，0≤x≤π0\le x\le\pi，将 f(x)f(x) 展开为以 2π2\pi 为周期的正弦级数，并利用该展开式求 ∑n=1∞1(2n−1)3\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^3} 的值。
#12-10 ｜ 难度 5/6 ｜ 证明
看答案与命题人视角
∑n=1∞1(2n−1)3=π332\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^3}=\frac{\pi^3}{32}
命题人视角：级数章是「工具+综合」考点——判别法选择、收敛域端点、和函数构造常与微分方程/积分交叉命题。