🦞 定积AI · 图说高数 · 第11章 无穷级数

无穷级数 · 将函数f(x)=1/(x2−3x+2)f(x)=1/(x^{2}-3x+2)展开为x的幂

考研难度提高 · 4/6
第11章 无穷级数 ｜ 题库题号 12-8（可溯源）｜ 增强版：强交互 · 沉浸式 · 工程思维 · 考研难度 ｜ 师生双视图同源
载体：自绘 SVG · 增强版·零外链·数据不出本地
教师视图学生视图
题 干
将函数f(x)=1/(x2−3x+2)f(x)=1/(x^{2}-3x+2)展开为x的幂级数，并指出收敛域。
还原图收敛半径图（可拖动）过程图雷区图认知层级图
图一还原图先把「有什么」摆出来
已 知f(x) = 1/(x² − 3x + 2)所 求展开为 x 的幂级数指出收敛域缺口需架桥
把有理分式展开为幂级数，口诀：先「拆」后「套」。
教师点题：分母因式分解 (x−1)(x−2) 是第一步。
学生先写出因式分解，再谈拆项。
图·收敛半径图（可拖动）交互
拖动滑块调 x：|x|<1 时 xⁿ 压向 0（收敛），|x|>1 时发散x = 0.60 ｜ |x| < 1 → 收敛
拖动滑块调 x：|x|<1 时 xⁿ 压向 0（收敛），|x|>1 时发散。
教师：边拖边讲「收敛域由 |x|
自己拖一拖，看什么时候发散。
图二过程图标准解答逐步（题库真题自带）
标准解答（题库真题自带，逐步可核验）
  1. 分解因式：x2−3x+2=(x−1)(x−2)x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2)。 1/(x2−3x+2)=1/[(x−1)(x−2)]=1/(x−2)−1/(x−1)=−(1/2)⋅1/(1−x/2)+1/(1−x)1/(x^{2}-3x+2)=1/[(x-1)(x-2)]=1/(x-2)-1/(x-1)=-(1/2)\cdot1/(1-x/2)+1/(1-x)。 =−(1/2)⋅∑(x/2)n+∑xn=∑[1−1/2n+1]xn=-(1/2)\cdot\sum(x/2)^n+\sum x^n=\sum[1-1/2^{n+1}]x^n。 第一个级数收敛域|x|<2，第二个|x|<1，交集|x|<1。
标准解答：分母因式分解 → 部分分式 → 几何级数展开。
教师提醒：变量替换时，收敛域随中心一起核对。
学生复算几何级数，合并同类项。
图三雷区图错在哪一步（真实数据接入位）
雷区数据接入位　本图用于把「最易错处」钉在图上的具体位置；错误率来自题库作答聚合（脱敏·按知识点「幂级数展开」）。
本知识点真实错误率：数据接入后显示（暂无则不显示，绝不编造）。
雷区图把「最容易错的地方」钉在具体位置；错误率数据接入后显示。
教师只点典型错误、不点名。
学生对照自查：这几个位置我有没有踩坑？
图四认知层级图本题落在 Bloom 哪一层
认知层级（Bloom）：本题在主序列中的位置记忆理解应用分析●评价创造绿=本题涉及；灰=本题不涉及（层级递进，但不要求每题都到顶）
本题涉及的认知层级（绿）——级别递进，但不要求每题都到顶。
教师据此定课堂标高：只到「应用」的题，不拔到「评价」。
学生知道要练到哪一层：会算 ≠ 会用。
🎯 同型题 · 同考场（Ch7 幂级数展开 · 题库真题 33 道，取 4 道 · 可溯源 id，非本题改编）
求级数∑n=1∞1/(n(n+1))\sum_{n=1}^{\infty} 1/(n(n+1))的和。
#HC0774-020 ｜ calc ｜ 进阶
看答案
1
设 f(x)f(x) 是周期为 2π2\pi 的函数，在 [−π,π)[-\pi,\pi) 上 f(x)=x2f(x)=x^2，求其傅里叶级数。
#HC0774-021 ｜ calc ｜ 进阶
看答案
π23+4∑n=1∞(−1)nn2cos⁡nx\frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2} \cos nx
设 f(x)f(x) 是周期为 2π2\pi 的奇函数，在 [0,π][0,\pi] 上 f(x)=xf(x)=x，求其傅里叶级数。
#HC0774-022 ｜ calc ｜ 进阶
看答案
2∑n=1∞(−1)n+1nsin⁡nx2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin nx
幂级数∑n=1∞xnn⋅2n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n\cdot2^n}的收敛半径为______。
#HC0774-023 ｜ fill ｜ 进阶
看答案
2
做法同源：识别特征 → 判别方法 → 验算。答案可折叠，先自己做再看；错误率来自训练记录（样本不足则留白，绝不编造）。
🔧 工程视角 · 学以致用（题库真题 #HC0776-018 ｜ 无穷级数）
工程问题→数学建模→级数工具→工程结论
每年年末向账户存入 10001000 元，年利率 5%5\%（复利）。若按无限期年金计算，求该年金的现值（各笔存款折现到现在的总和）。
看工程结论
2000020000 元
把「无穷级数」落到一个真实工程/金融场景——这就是「学以致用」。
🎯 小试一刀 · 先想再对
将函数f(x)=1/(x2−3x+2)f(x)=1/(x^{2}-3x+2)展开为x的幂级数，并指出收敛域。
你自己做到哪一步？（如实自评，用于生成你的复习路径）
💡 先分解为部分分式，再分别展开。
🎯 从会做 → 会迁移解题能力 · 只增不改
🔁 举一反三 · 同型变式回练
以下为本题的同型题（题库真源 · 可溯源）——先自己做，再展开答案：
  1. 将 f(x)=exf(x)=e^{x} 展开为 xx 的幂级数
    看答案对一对
    e^x = ∑ x^n/n! = 1 + x + x²/2! + ...
    题库 12-4 · 幂级数
  2. 求幂级数 ∑n=1∞xnn\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n} 的收敛域与和函数
    看答案对一对
    [−1,1)[-1,1)，−ln⁡(1−x)-\ln(1-x)
    题库 12-14 · 幂级数
  3. 求幂级数 ∑n=1∞(−1)nx2nn\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{n} 的收敛半径和收敛域。
    看答案对一对
    R=1R=1，收敛域 [−1,1][-1,1]
    题库 12-20 · 幂级数
📈 考研真题角 · 命题规律（本题库真题 · 可溯源 id · 每页 2 道）
将 f(x)=exf(x)=e^{x} 展开为 xx 的幂级数
#12-4 ｜ 难度 6/6 ｜ 展开
看答案与命题人视角
e^x = ∑ x^n/n! = 1 + x + x²/2! + ...
命题人视角：级数章是「工具+综合」考点——判别法选择、收敛域端点、和函数构造常与微分方程/积分交叉命题。
设 f(x)=x(π−x)f(x)=x(\pi-x)，0≤x≤π0\le x\le\pi，将 f(x)f(x) 展开为以 2π2\pi 为周期的正弦级数，并利用该展开式求 ∑n=1∞1(2n−1)3\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^3} 的值。
#12-10 ｜ 难度 5/6 ｜ 证明
看答案与命题人视角
∑n=1∞1(2n−1)3=π332\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^3}=\frac{\pi^3}{32}
命题人视角：级数章是「工具+综合」考点——判别法选择、收敛域端点、和函数构造常与微分方程/积分交叉命题。