🦞 定积AI · 图说高数 · 第11章 无穷级数

无穷级数 · 判断 ∑n=2∞1nln⁡n\sum\limits_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{n\ln n} 的敛散性

考研难度精通 · 6/6
第11章 无穷级数 ｜ 题库题号 12-6（可溯源）｜ 增强版：强交互 · 沉浸式 · 工程思维 · 考研难度 ｜ 师生双视图同源
载体：自绘 SVG · 增强版·零外链·数据不出本地
教师视图学生视图
题 干
判断 ∑n=2∞1nln⁡n\sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{n\ln n} 的敛散性
还原图部分和动画图（可播放）条件检验图路径图雷区图认知层级图方法矩阵
图一还原图先把「有什么」摆出来
已 知aₙ = 1/(n·ln n)n ≥ 2，正项级数所 求判敛散缺口需架桥
通项含 ln⁡n\ln n，标准工具是积分判别法：把级数换成函数积分。
教师提示：看到 ln⁡n\ln n 进分母，想积分判别。
学生写出 f(x)=1xln⁡xf(x)=\dfrac{1}{x\ln x}。
图·部分和动画图（可播放）交互
点「播放」：部分和 Sₙ 逐项累加，看它是否稳定下来nS（部分和上限）
点「播放」：部分和 Sₙ 逐个累加，看它是否稳定。
教师：边播放边问「Sₙ 有没有上限」。
体会「收敛=部分和稳定」。
图二条件检验图积分判别法三条预检
积分判别法：f(x) 正、连续、单调递减 ⇒ ∑f(n) 与 ∫f 同敛散
条件 / 判据结果说明
f(x)=1/(x ln x) 为正✓x ≥ 2
f 连续✓x > 1 上连续
f 单调递减✓可求导验证
∫₂^∞ dx/(x ln x)= +∞换元 t=ln x ⇒ ln(ln x)|₂^∞
积分发散 ⇒ 级数发散✗级数发散
三条件满足后看积分：∫2∞dxxln⁡x\int_2^{\infty}\dfrac{dx}{x\ln x} 发散 ⇒ 级数发散。
教师现场做换元 t=ln⁡xt=\ln x，让学生看清 ln⁡(ln⁡x)→∞\ln(\ln x)\to\infty。
学生复算积分，明确「积分发散即级数发散」。
图三路径图本型题的决策步（来自分解库）
① 统一形式1/(n lnn)② 构函数f(x)=1/(x ln x)③ 验条件正、连续、↓④ 算广义积分∫₂^∞ 发散⑤ 结论级数发散按序执行；每步产出一个可核验的中间结果。
五步决策：每步产出一个可核验的中间结果，最后一步落到结论。
教师只点拨关键一步，其余留给学生补全。
学生按图逐步执行，把每步的中间结果写下来。
图四雷区图错在哪一步（真实数据接入位）
雷区数据接入位　本图用于把「最易错处」钉在图上的具体位置；错误率来自题库作答聚合（脱敏·按知识点「数项级数审敛」）。
本知识点真实错误率：数据接入后显示（暂无则不显示，绝不编造）。
雷区图把「最容易错的地方」钉在图上的具体位置；错误率数据接入后显示。
教师小结只点典型错误、不点名；若某雷区错误率 > 40%，下节课开头加 3 分钟快问快答。
学生对照自查：这几个位置我有没有踩坑？
图五认知层级图本题落在 Bloom 哪一层
认知层级（Bloom）：本题在主序列中的位置记忆理解●应用●分析●评价创造绿=本题涉及；灰=本题不涉及（层级递进，但不要求每题都到顶）
本题涉及的认知层级（绿）——从「记忆」到「创造」逐级递进。
教师据此定课堂标高：只到「应用」的题，不拔到「评价」。
学生知道要练到哪一层：会算 ≠ 会用。
图六方法矩阵同型扫描：见到什么→用什么方法
方法选择矩阵：看识别特征 → 定判别方法 → 对到实例识别特征判别方法实例可裂项 1/n(n+1)部分和·裂项相消12-1交错 (-1)ⁿ⁻¹·bₙLeibniz 判别法12-2含 xⁿ/n!（幂级数）比值法求半径12-3对数型 1/(n·ln n)积分判别法本题 12-6 ★
把「同型题」按**判别方法**归类：识别特征 → 方法 → 实例，一眼看到方法选择逻辑。
教师用这张表带「方法选择」——不是背题，是见招拆招。
学生做完一题后对照：下次见到同类特征，能不能自己选方法？
🔗 同型题串联（练完这题接着练）：练同类 · 12-1 →练同类 · 12-2 →练同类 · 12-3 →
🎯 同型题 · 同考场（Ch7 数项级数审敛 · 题库真题 21 道，取 3 道 · 可溯源 id，非本题改编）
判断以下说法是否正确："若正项级数 ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_n 收敛，则 ∑n=1∞an2\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 也一定收敛。"
#HC07数项级数审敛-003 ｜ judgment ｜ 进阶
看答案
正确
判断：级数 ∑n=1∞nn+1\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{n+1} 收敛。（回答“正确”或“错误”）
#HC0777-010 ｜ judgment ｜ 基础
看答案
错误
判断级数 ∑n=1∞n!nn\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{n!}{n^n} 的敛散性。
#HC0777-011 ｜ calc ｜ 基础
看答案
收敛（比值判别法，lim⁡an+1an=1e<1\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac1e<1）
做法同源：识别特征 → 判别方法 → 验算。答案可折叠，先自己做再看；错误率来自训练记录（样本不足则留白，绝不编造）。
⬆ 认知再上一级评价 / 创造 · 只增不改
⚖ 多解反思 · 解法比较（评价层）
做完别急着走，再问一层：回顾解题过程，总结关键步骤
能说清「为什么选它、别的为什么不行」，才算把方法用活。　溯源：题库 12-6 · thinking_guide.reflection
✍ 命题人 · 我来改一题（创造层）
试着把题改一处条件，编一个新题：尝试改变条件，构造新问题
能自己出题并给出答案，说明你摸到了这道题的「命门」。　溯源：题库 12-6 · thinking_guide.transfer
🔧 工程视角 · 学以致用（题库真题 #HC0776-025 ｜ 无穷级数）
工程问题→数学建模→级数工具→工程结论
某投资策略每年盈亏交替：第 11 年盈利 12\dfrac12 份本金、第 22 年亏损 14\dfrac14、第 33 年盈利 18\dfrac18……求累计盈亏的极限（∑n=1∞(−1)n+12n\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n+1}}{2^n}）。
看工程结论
13\dfrac13
把「无穷级数」落到一个真实工程/金融场景——这就是「学以致用」。
🎯 小试一刀 · 先想再对
判断 ∑n=2∞1nln⁡n\sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{n\ln n} 的敛散性
你自己做到哪一步？（如实自评，用于生成你的复习路径）
💡 使用积分判别法
🎯 从会做 → 会迁移解题能力 · 只增不改
🔁 举一反三 · 同型变式回练
以下为本题的同型题（题库真源 · 可溯源）——先自己做，再展开答案：
  1. 判断级数 ∑n=1∞1n(n+1)\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n(n+1)} 是否收敛
    看答案对一对
    收敛（部分和 S_n = n/(n+1) → 1）
    题库 12-1 · 正项级数收敛
  2. 判断 ∑n=1∞(−1)n−11n\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\dfrac{1}{n} 的收敛性
    看答案对一对
    条件收敛（莱布尼茨判别法）
    题库 12-2 · 交错级数
  3. 用比值判别法判断 ∑n=1∞xnn!\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^{n}}{n!} 的收敛半径
    看答案对一对
    R=∞（对所有 x 收敛）
    题库 12-3 · 正项级数收敛
🧭 解题策略卡 · 识别式
拿到题先问自己：仔细分析题目条件，找出解题突破口
把「看见什么信号 → 想到什么方法」记成条件反射，比记题型更耐用。　溯源：题库 12-6 · thinking_guide.trigger
📈 考研真题角 · 命题规律（本题库真题 · 可溯源 id · 每页 2 道）
将 f(x)=exf(x)=e^{x} 展开为 xx 的幂级数
#12-4 ｜ 难度 6/6 ｜ 展开
看答案与命题人视角
e^x = ∑ x^n/n! = 1 + x + x²/2! + ...
命题人视角：级数章是「工具+综合」考点——判别法选择、收敛域端点、和函数构造常与微分方程/积分交叉命题。
设 f(x)=x(π−x)f(x)=x(\pi-x)，0≤x≤π0\le x\le\pi，将 f(x)f(x) 展开为以 2π2\pi 为周期的正弦级数，并利用该展开式求 ∑n=1∞1(2n−1)3\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^3} 的值。
#12-10 ｜ 难度 5/6 ｜ 证明
看答案与命题人视角
∑n=1∞1(2n−1)3=π332\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^3}=\frac{\pi^3}{32}
命题人视角：级数章是「工具+综合」考点——判别法选择、收敛域端点、和函数构造常与微分方程/积分交叉命题。