第9章 · 多元函数微分法及其应用：增强版44 题

求 z = x²y + siny 的 ∂z/∂x 和 ∂z/∂y

求 z = xy 在点 (1,2) 处的全微分

设 z = f(u,v), u = x+y, v = xy，求 ∂z/∂x

求 f(x,y) = x² + y² - 2x - 4y 的极值

求函数 f(x,y)=xy 在约束条件 x+y=6 下的最大值

证明：lim_{(x,y)→(0,0)} xy²/(x²+y⁴) 不存在

设 F(x,y,z)=x²+y²+z²-xyz-1=0，求 ∂z/∂x 和 ∂z/∂y

求函数 u=xyz 在点 (1,1,1) 沿方向 l=(1,-1,0) 的方向导数

证明：函数 z=f(x,y) 的梯度方向与等高线法线方向一致

求函数 f(x,y)=eˣ˒ⁿʸ 在点 (0,0) 的二阶泰勒公式

在椭球面 x²+2y²+3z²=1 上求点到原点的最大和最小距离

设 { x=u+v, y=u²+v², z=u³+v³，求 ∂(x,y,z)/∂(u,v)

求函数 f(x,y)=x⁴+y⁴-(x-y)² 的极值并判断类型

在三角形区域 D={(x,y)|x≥0,y≥0,x+y≤1} 上求 f(x,y)=xy 的最大值

验证 (x²+y²)dx + 2xydy=0 是否为全微分方程，若是则求通解

设 f(x,y)=x^2y+y^2，求点 (1,1) 沿向量 v=(3,4) 方向的方向导数

曲面 z=x^2+y^2 在点 (1,2,5) 处求切平面方程

求 f(x,y)=xy 在约束 x^2+y^2=1 下的极值

判断 f(x,y)=x^2-4xy+y^2 在 (0,0) 的驻点类型

设 z=√(x^2+y^2+1)，在点 (1,2) 处用线性近似估计 z(1.02,1.98)

设 $f(x,y) = \begin{cases} \frac{x^2y}{x^2+y^2}, & (x,y)\neq(0,0) \\ 0, & (x,y)=(0,0) \end{cases}$，讨论 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处的连续性。

已知 $z=x^2y+xy^2$，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 在 $(1,2)$ 处的值。

设 $z = f(x,y)$ 由方程 $z^3 - 3xyz = a^3$ 确定，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$。

函数 $f(x,y) = x^2y$ 在点 $(1,2)$ 处沿曲线 $y=x^2$ 在该点切线方向的方向导数为：

函数 $f(x,y)=x^2+y^2$ 在点 $(0,0)$ 处（ ）

求曲线 $\mathbf{r}(t)=(t,\ t^2,\ t^3)$ 在 $t=1$ 处的切向量和切线方程。

求函数$z=x^2+y^2$在点(1,1)处的全微分。

求函数$f(x,y)=x^2+xy+y^2$在约束条件x+y=1下的条件极值。

设函数 z = f(xy, x/y)，其中 f 具有二阶连续偏导数。求 $\partial z/\partial x$ 和 $\partial^{2}z/\partial x\partial y$。

求 $\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2}$

曲面 $z=x^2+y^2$ 在点 $(1,1,2)$ 处的法线方程为____。

曲面 $z=x^2+y^2$ 在 $(1,1,2)$ 处法线

求曲面 $z=x^2+y^2$ 在点 $(1,1,2)$ 处的切平面方程。

求曲面 $z=x^2+y^2$ 在点 $(1,1,2)$ 处的法线方程。

求曲面 $z=x^3+y^3-3xy$ 上的平行于平面 $3x-y-2z=5$ 的切平面方程。

曲面 $z=x^2+2y^2$ 在点 $(1,1,3)$ 处的切平面方程为（ ）

求曲面 $z=x^2+y^2$ 与平面 $x+2y+z=4$ 的最短距离。

在曲面$z=4-x^{2}-y^{2}$上求一点，使该点处的切平面平行于平面2x+4y+z=1。

求曲面$z=x^{2}+y^{2}$与平面x+y+z=1的最短距离。

求曲面$z=x^{2}+y^{2}$在点(1,1,2)处的切平面方程。

求曲面$z=x^2+y^2$在点(1,1,2)处的切平面方程。

曲面 $z = x^2 y$ 在点 $(1, 2, 2)$ 处的切平面方程为 $\underline{\hspace{4cm}}$。

曲面 $z = x^2 + y^2$ 在点 $(1, -1, 2)$ 处的法线方程为 $\underline{\hspace{4cm}}$。

山坡高度由曲面 $z=x^2y+2y^2$（m）描述。求点 $(1,2)$ 处沿 $x$ 轴方向的坡度（即 $z$ 对 $x$ 的偏导数）。