🦞 定积AI · 图说高数 · 第9章 多元函数微分法及其应用

多元函数微分法及其应用 · 求函数 f(x,y)=ex+yf(x,y)=e^{x+y} 在点 (0,0)(0,0) 的二阶泰勒公式

考研难度精通 · 6/6
第9章 多元函数微分法及其应用 ｜ 题库题号 9-10 ｜ 增强版：强交互 · 沉浸式 · 工程思维 · 考研难度 ｜ 师生双视图同源
载体：自绘 SVG · 增强版（第9章）·零外链·数据不出本地
教师视图学生视图
题 干
求函数 f(x,y)=ex+yf(x,y)=e^{x+y} 在点 (0,0)(0,0) 的二阶泰勒公式
还原图过程图雷区图认知层级图
①还原图从题干取出已知与所求
已 知二元泰勒公式所 求求函数 f(x,y)=e^(x+y) 在点(0,0) 的二阶泰勒公式缺口需架桥
把题干拆成「已知情境」与「所求」——先看清在问什么。
先让学生说：这题考本章哪个工具？
先自己判断结构，再动笔。
②过程图解法链（CAS 复算核验）
推导链：每一步都可用 CAS 复算写出 f 在原点f(0,0)=e⁰=1一阶偏导f_x=f_y=e^(x+y) ⇒ 1, 1二阶偏导f_xx=f_xy=f_yy=e^(x+y) ⇒ 1, 1, 1套二阶泰勒1+x+y+(x²+2xy+y²)/2+o(ρ²)结果$f(x,y)=1+x+y+\dfrac{x^2+2xy+y^2}{2}+o(\rho^2)$
推导链末一步与题库答案逐字一致；终值已用 SymPy 独立复算通过（可核验，非人工臆造）。
教师只讲卡点，不逐行念。
学生对照自查：卡在哪一步？
③雷区图错在哪一步（真实数据接入位）
雷区数据接入位　本图用于把「最易错处」钉在图上的具体位置；错误率来自题库作答聚合（脱敏·按知识点「Ch9 二元泰勒公式」）。
本知识点真实错误率：数据接入后显示（暂无则不显示，绝不编造）。
雷区图把「最容易错的地方」钉在具体位置；错误率数据接入后显示。
教师只点典型错误、不点名。
学生对照自查：这几个位置我有没有踩坑？
④认知层级图本题落在 Bloom 哪一层
认知层级（Bloom）：本题在主序列中的位置记忆理解●应用●分析●评价创造绿=本题涉及；灰=本题不涉及（层级递进，但不要求每题都到顶）
本题涉及的认知层级（绿）——级别递进，但不要求每题都到顶。
教师据此定课堂标高。
学生知道要练到哪一层：会算 ≠ 会用。
⬆ 认知再上一级评价 / 创造 · 只增不改
⚖ 多解反思 · 解法比较（评价层）
做完别急着走，再问一层：回顾解题过程，总结关键步骤
能说清「为什么选它、别的为什么不行」，才算把方法用活。　溯源：题库 9-10 · thinking_guide.reflection
✍ 命题人 · 我来改一题（创造层）
试着把题改一处条件，编一个新题：尝试改变条件，构造新问题
能自己出题并给出答案，说明你摸到了这道题的「命门」。　溯源：题库 9-10 · thinking_guide.transfer
🔧 工程视角 · 学以致用（第9章题库·真实应用/建模题 #9-39 ｜ 多元函数微分学的应用）
工程问题→数学建模→本章工具→工程结论
求曲面z=x2+y2z=x^{2}+y^{2}与平面x+y+z=1的最短距离。
看工程结论
3/2\sqrt{3}/2
把本章工具落到一个真实应用场景——这就是「学以致用」。
🎯 小试一刀 · 先想再对
求函数 f(x,y)=ex+yf(x,y)=e^{x+y} 在点 (0,0)(0,0) 的二阶泰勒公式
你自己做到哪一步？（如实自评，用于生成你的复习路径）
💡 利用 ex+y=∑n=0∞(x+y)nn!e^{x+y} = \sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{(x+y)^n}{n!} 或直接求各阶偏导
🎯 从会做 → 会迁移解题能力 · 只增不改
🔁 举一反三 · 同型变式回练
以下为本题的同型题（题库真源 · 可溯源）——先自己做，再展开答案：
  1. 求 z = x²y + siny 的 ∂z/∂x 和 ∂z/∂y
    看答案对一对
    ∂z/∂x = 2xy, ∂z/∂y = x² + cosy
    题库 9-1 · 偏导数
  2. 求 z = xy 在点 (1,2) 处的全微分
    看答案对一对
    dz = 2dx + dy
    题库 9-2 · 全微分
  3. 设 z = f(u,v), u = x+y, v = xy，求 ∂z/∂x
    看答案对一对
    f_u + y·f_v
    题库 9-3 · 复合函数求导
🧭 解题策略卡 · 识别式
拿到题先问自己：仔细分析题目条件，找出解题突破口
把「看见什么信号 → 想到什么方法」记成条件反射，比记题型更耐用。　溯源：题库 9-10 · thinking_guide.trigger
📈 考研真题角 · 命题规律（题库真题池 · 可溯源 id · 每章 2 道）
竞赛题：设z=f(2x-y, x+3y)，f具二阶连续偏导。求∂2z/∂x∂y\partial^{2}z/\partial x\partial y。
#HC0551-015 ｜ Ch5 多元函数极限与连续 ｜ 挑战
看答案与命题人视角
2fuu−2fuv+3fvu−3fvv=2fuu+fuv−3fvv2f_{uu}-2f_{uv}+3f_{vu}-3f_{vv}=2f_{uu}+f_{uv}-3f_{vv}
命题人视角：本章是考研「工具型 + 综合型」考点，常与相邻章交叉命题，考查「识别结构 → 选方法」的熟练度。
设 z=f(x,y)z=f(x,y) 有二阶连续偏导，x=rcos⁡θx=r\cos\theta，y=rsin⁡θy=r\sin\theta，证明 ∂2z∂x2+∂2z∂y2=∂2z∂r2+1r∂z∂r+1r2∂2z∂θ2\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial^2 z}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial z}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 z}{\partial \theta^2}。
#HC0552-007 ｜ Ch5 偏导数 ｜ 挑战
看答案与命题人视角
证明见解析
命题人视角：本章是考研「工具型 + 综合型」考点，常与相邻章交叉命题，考查「识别结构 → 选方法」的熟练度。