🦞 定积AI · 图说高数 · 第9章 多元函数微分法及其应用

多元函数微分法及其应用 · 设 f(x,y)={x2yx2+y2,(x,y)≠(0,0)0,(x,y)=(0,0)f(x,y) = \begin{cases} \frac{x^2y}{x^2+y^2}, & (x,y)\neq(0,0) \\ 0, & (x,y)=(0,0) \end{cases}，讨论 f(x,y)f(x,y) 在 (0,0)(0,0) 处的连续性。

考研难度进阶 · 2/6
第9章 多元函数微分法及其应用 ｜ 题库题号 9-21 ｜ 增强版：强交互 · 沉浸式 · 工程思维 · 考研难度 ｜ 师生双视图同源
载体：自绘 SVG · 增强版（第9章）·零外链·数据不出本地
教师视图学生视图
题 干
设 f(x,y)={x2yx2+y2,(x,y)≠(0,0)0,(x,y)=(0,0)f(x,y) = \begin{cases} \frac{x^2y}{x^2+y^2}, & (x,y)\neq(0,0) \\ 0, & (x,y)=(0,0) \end{cases}，讨论 f(x,y)f(x,y) 在 (0,0)(0,0) 处的连续性。
还原图过程图雷区图认知层级图
①还原图从题干取出已知与所求
已 知多元函数极限与连续所 求设 f(x,y) = ｛x²y/(x²+y²)，amp;(x,y)≠(0,0)；0，amp;(x,y)=(0,0)｝，讨论f(x,y) 在 (0,0) 处的连续性。缺口需架桥
把题干拆成「已知情境」与「所求」——先看清在问什么。
先让学生说：这题考本章哪个工具？
先自己判断结构，再动笔。
②过程图标准解答逐步（题库真题自带）
标准解答逐步（题库真题自带，逐步可核验）
  1. 【思路分析】判断多元函数在一点的连续性，需检查极限是否等于函数值。用极坐标法或夹逼法。
  2. 令 x=rcos⁡θ,  y=rsin⁡θx=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta，则 ∣f(x,y)−0∣=∣r3cos⁡2θsin⁡θr2∣=r∣cos⁡2θsin⁡θ∣≤r|f(x,y)-0| = \left|\frac{r^3\cos^2\theta\sin\theta}{r^2}\right| = r|\cos^2\theta\sin\theta| \le r。当 r→0r\to0 时 ∣f∣→0|f|\to0，故 lim⁡(x,y)→(0,0)f(x,y)=0=f(0,0)\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0=f(0,0)，连续。
  3. 注意：x2yx2+y2\frac{x^2y}{x^2+y^2} 是 00\frac{0}{0} 型不定式，极坐标是处理此类问题的标准方法。
过程图把「标准解法链」逐步摆开，每一步可核验。
教师只讲卡点，不逐行念。
学生对照自查：卡在哪一步？
③雷区图错在哪一步（真实数据接入位）
雷区数据接入位　本图用于把「最易错处」钉在图上的具体位置；错误率来自题库作答聚合（脱敏·按知识点「Ch9 多元函数极限与连续」）。
本知识点真实错误率：数据接入后显示（暂无则不显示，绝不编造）。
雷区图把「最容易错的地方」钉在具体位置；错误率数据接入后显示。
教师只点典型错误、不点名。
学生对照自查：这几个位置我有没有踩坑？
④认知层级图本题落在 Bloom 哪一层
认知层级（Bloom）：本题在主序列中的位置记忆理解应用分析●评价创造绿=本题涉及；灰=本题不涉及（层级递进，但不要求每题都到顶）
本题涉及的认知层级（绿）——级别递进，但不要求每题都到顶。
教师据此定课堂标高。
学生知道要练到哪一层：会算 ≠ 会用。
⬆ 认知再上一级评价 / 创造 · 只增不改
⚖ 多解反思 · 解法比较（评价层）
做完别急着走，再问一层：为什么选择这种方法？其他方法为什么不适用？
能说清「为什么选它、别的为什么不行」，才算把方法用活。　溯源：题库 9-21 · thinking_guide.reflection
✍ 命题人 · 我来改一题（创造层）
试着把题改一处条件，编一个新题：如果把 x→0 改成 x→∞，结果会如何变化？
能自己出题并给出答案，说明你摸到了这道题的「命门」。　溯源：题库 9-21 · thinking_guide.transfer
🔧 工程视角 · 学以致用（第9章题库·真实应用/建模题 #9-36 ｜ 多元函数微分学的应用）
工程问题→数学建模→本章工具→工程结论
曲面 z=x2+2y2z=x^2+2y^2 在点 (1,1,3)(1,1,3) 处的切平面方程为（ ）
看工程结论
A
把本章工具落到一个真实应用场景——这就是「学以致用」。
🎯 小试一刀 · 先想再对
设 f(x,y)={x2yx2+y2,(x,y)≠(0,0)0,(x,y)=(0,0)f(x,y) = \begin{cases} \frac{x^2y}{x^2+y^2}, & (x,y)\neq(0,0) \\ 0, & (x,y)=(0,0) \end{cases}，讨论 f(x,y)f(x,y) 在 (0,0)(0,0) 处的连续性。
你自己做到哪一步？（如实自评，用于生成你的复习路径）
💡 用极坐标变换或夹逼准则
🎯 从会做 → 会迁移解题能力 · 只增不改
🔁 举一反三 · 同型变式回练
以下为本题的同型题（题库真源 · 可溯源）——先自己做，再展开答案：
  1. 求 lim⁡(x,y)→(0,0)xyx2+y2\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2}
    看答案对一对
    不存在
    题库 9-30 · 多元函数极限与连续
🧭 解题策略卡 · 识别式
拿到题先问自己：看到极限问题，首先判断是什么类型的不定式？
把「看见什么信号 → 想到什么方法」记成条件反射，比记题型更耐用。　溯源：题库 9-21 · thinking_guide.trigger
📈 考研真题角 · 命题规律（题库真题池 · 可溯源 id · 每章 2 道）
竞赛题：设z=f(2x-y, x+3y)，f具二阶连续偏导。求∂2z/∂x∂y\partial^{2}z/\partial x\partial y。
#HC0551-015 ｜ Ch5 多元函数极限与连续 ｜ 挑战
看答案与命题人视角
2fuu−2fuv+3fvu−3fvv=2fuu+fuv−3fvv2f_{uu}-2f_{uv}+3f_{vu}-3f_{vv}=2f_{uu}+f_{uv}-3f_{vv}
命题人视角：本章是考研「工具型 + 综合型」考点，常与相邻章交叉命题，考查「识别结构 → 选方法」的熟练度。
设 z=f(x,y)z=f(x,y) 有二阶连续偏导，x=rcos⁡θx=r\cos\theta，y=rsin⁡θy=r\sin\theta，证明 ∂2z∂x2+∂2z∂y2=∂2z∂r2+1r∂z∂r+1r2∂2z∂θ2\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial^2 z}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial z}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 z}{\partial \theta^2}。
#HC0552-007 ｜ Ch5 偏导数 ｜ 挑战
看答案与命题人视角
证明见解析
命题人视角：本章是考研「工具型 + 综合型」考点，常与相邻章交叉命题，考查「识别结构 → 选方法」的熟练度。