🦞 定积AI · 图说高数 · 第9章 多元函数微分法及其应用

多元函数微分法及其应用 · 求曲面z=x2+y2z=x^{2}+y^{2}在点(1,1,2)处的切平面方程。

考研难度进阶 · 2/6
第9章 多元函数微分法及其应用 ｜ 题库题号 9-40 ｜ 增强版：强交互 · 沉浸式 · 工程思维 · 考研难度 ｜ 师生双视图同源
载体：自绘 SVG · 增强版（第9章）·零外链·数据不出本地
教师视图学生视图
题 干
求曲面z=x2+y2z=x^{2}+y^{2}在点(1,1,2)处的切平面方程。
还原图过程图雷区图认知层级图
①还原图从题干取出已知与所求
已 知方向导数与梯度所 求求曲面z=x²+y²在点(1,1,2)处的切平面方程。缺口需架桥
把题干拆成「已知情境」与「所求」——先看清在问什么。
先让学生说：这题考本章哪个工具？
先自己判断结构，再动笔。
②过程图标准解答逐步（题库真题自带）
标准解答逐步（题库真题自带，逐步可核验）
  1. 令F=x2+y2−zF=x^{2}+y^{2}-z，∇F=(2x,2y,−1)\nabla F=(2x,2y,-1)。在(1,1,2)处法向量n=(2,2,-1)。切平面：2(x-1)+2(y-1)-(z-2)=0⇒2x+2y-z-2=0。
过程图把「标准解法链」逐步摆开，每一步可核验。
教师只讲卡点，不逐行念。
学生对照自查：卡在哪一步？
③雷区图错在哪一步（真实数据接入位）
雷区数据接入位　本图用于把「最易错处」钉在图上的具体位置；错误率来自题库作答聚合（脱敏·按知识点「Ch9 方向导数与梯度」）。
本知识点真实错误率：数据接入后显示（暂无则不显示，绝不编造）。
雷区图把「最容易错的地方」钉在具体位置；错误率数据接入后显示。
教师只点典型错误、不点名。
学生对照自查：这几个位置我有没有踩坑？
④认知层级图本题落在 Bloom 哪一层
认知层级（Bloom）：本题在主序列中的位置记忆理解应用分析●评价创造绿=本题涉及；灰=本题不涉及（层级递进，但不要求每题都到顶）
本题涉及的认知层级（绿）——级别递进，但不要求每题都到顶。
教师据此定课堂标高。
学生知道要练到哪一层：会算 ≠ 会用。
⬆ 认知再上一级评价 / 创造 · 只增不改
⚖ 多解反思 · 解法比较（评价层）
做完别急着走，再问一层：链式法则是如何一步步应用的？
能说清「为什么选它、别的为什么不行」，才算把方法用活。　溯源：题库 9-40 · thinking_guide.reflection
✍ 命题人 · 我来改一题（创造层）
试着把题改一处条件，编一个新题：如果换成隐函数求导，应该怎么做？
能自己出题并给出答案，说明你摸到了这道题的「命门」。　溯源：题库 9-40 · thinking_guide.transfer
🔧 工程视角 · 学以致用（第9章题库·真实应用/建模题 #9-14 ｜ 最值应用）
工程问题→数学建模→本章工具→工程结论
在三角形区域 D={(x,y)|x≥0,y≥0,x+y≤1} 上求 f(x,y)=xy 的最大值
看工程结论
最大值=1/4（在 (1/2,1/2) 处取得）
把本章工具落到一个真实应用场景——这就是「学以致用」。
🎯 小试一刀 · 先想再对
求曲面z=x2+y2z=x^{2}+y^{2}在点(1,1,2)处的切平面方程。
你自己做到哪一步？（如实自评，用于生成你的复习路径）
💡 切平面法向量=梯度。
🎯 从会做 → 会迁移解题能力 · 只增不改
🔁 举一反三 · 同型变式回练
以下为本题的同型题（题库真源 · 可溯源）——先自己做，再展开答案：
  1. 求函数 u=xyz 在点 (1,1,1) 沿方向 l=(1,-1,0) 的方向导数
    看答案对一对
    ∂u/∂l = (1-1)/√2 = 0
    题库 9-8 · 方向导数与梯度
  2. 设 f(x,y)=x^2y+y^2，求点 (1,1) 沿向量 v=(3,4) 方向的方向导数
    看答案对一对
    ∇f=(2xy, x^2+2y)，在(1,1)为(2,3)；单位向量 e=(3/5,4/5)，D_e f=∇f·e=18/5
    题库 9-16 · 方向导数与梯度
  3. 函数 f(x,y)=x2yf(x,y) = x^2y 在点 (1,2)(1,2) 处沿曲线 y=x2y=x^2 在该点切线方向的方向导数为：
    看答案对一对
    00
    题库 9-24 · 方向导数与梯度
🧭 解题策略卡 · 识别式
拿到题先问自己：求导前，先观察函数结构：有哪些基本函数复合？
把「看见什么信号 → 想到什么方法」记成条件反射，比记题型更耐用。　溯源：题库 9-40 · thinking_guide.trigger
📈 考研真题角 · 命题规律（题库真题池 · 可溯源 id · 每章 2 道）
竞赛题：设z=f(2x-y, x+3y)，f具二阶连续偏导。求∂2z/∂x∂y\partial^{2}z/\partial x\partial y。
#HC0551-015 ｜ Ch5 多元函数极限与连续 ｜ 挑战
看答案与命题人视角
2fuu−2fuv+3fvu−3fvv=2fuu+fuv−3fvv2f_{uu}-2f_{uv}+3f_{vu}-3f_{vv}=2f_{uu}+f_{uv}-3f_{vv}
命题人视角：本章是考研「工具型 + 综合型」考点，常与相邻章交叉命题，考查「识别结构 → 选方法」的熟练度。
设 z=f(x,y)z=f(x,y) 有二阶连续偏导，x=rcos⁡θx=r\cos\theta，y=rsin⁡θy=r\sin\theta，证明 ∂2z∂x2+∂2z∂y2=∂2z∂r2+1r∂z∂r+1r2∂2z∂θ2\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial^2 z}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial z}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 z}{\partial \theta^2}。
#HC0552-007 ｜ Ch5 偏导数 ｜ 挑战
看答案与命题人视角
证明见解析
命题人视角：本章是考研「工具型 + 综合型」考点，常与相邻章交叉命题，考查「识别结构 → 选方法」的熟练度。