🦞 定积AI · 图说高数 · 第9章 多元函数微分法及其应用

多元函数微分法及其应用 · 设函数 z = f(xy, x/y)，其中 f 具有二阶连续偏导数。求 ∂z/∂x\partial z/\partial x 和 ∂2z/∂x∂y\partial^{2}z/\partial x\partial y。

考研难度进阶 · 2/6
第9章 多元函数微分法及其应用 ｜ 题库题号 9-29 ｜ 增强版：强交互 · 沉浸式 · 工程思维 · 考研难度 ｜ 师生双视图同源
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题 干
设函数 z = f(xy, x/y)，其中 f 具有二阶连续偏导数。求 ∂z/∂x\partial z/\partial x 和 ∂2z/∂x∂y\partial^{2}z/\partial x\partial y。
还原图过程图雷区图认知层级图
①还原图从题干取出已知与所求
已 知链式法则所 求设函数 z = f(xy, x/y)，其中 f 具有二阶连续偏导数。求 ∂ z/∂ x 和∂²z/∂ x∂ y。缺口需架桥
把题干拆成「已知情境」与「所求」——先看清在问什么。
先让学生说：这题考本章哪个工具？
先自己判断结构，再动笔。
②过程图标准解答逐步（题库真题自带）
标准解答逐步（题库真题自带，逐步可核验）
  1. 令 u = xy, v = x/y，则 z = f(u,v)。由链式法则：∂z/∂x=fu\partial z/\partial x = f_u⋅∂u/∂x+fv\partial u/\partial x + f_v⋅∂v/∂x=y\partial v/\partial x = y⋅fu+(1/y)f_u + (1/y)⋅fvf_v。记 f1=∂f/∂u,f2=∂f/∂vf_{1} = \partial f/\partial u, f_{2} = \partial f/\partial v。
  2. ∂2z/∂x∂y=∂/∂y(y\partial^{2}z/\partial x\partial y = \partial/\partial y (y⋅f1+(1/y)f_{1} + (1/y)⋅f2)f_{2})。需要分两项求导：(i)∂(y(i) \partial(y⋅f1)/∂y=f1+yf_{1})/\partial y = f_{1} + y⋅(f11(f_{11}⋅x+f12x + f_{12}⋅(−x/y2))(-x/y^{2}))；(ii)∂((1/y)(ii) \partial((1/y)⋅f2)/∂y=−(1/y2)f_{2})/\partial y = -(1/y^{2})⋅f2+(1/y)f_{2} + (1/y)⋅(f21(f_{21}⋅x+f22x + f_{22}⋅(−x/y2))(-x/y^{2}))。
  3. 合并得：∂2z/∂x∂y=f1+xy\partial^{2}z/\partial x\partial y = f_{1} + xy⋅f11−(x/y)f_{11} - (x/y)⋅f12−(1/y2)f_{12} - (1/y^{2})⋅f2+(x/y)f_{2} + (x/y)⋅f21−(x/y3)f_{21} - (x/y^{3})⋅f22f_{22}。
  4. 由二阶连续偏导条件知 f12=f21f_{12} = f_{21}，消去交叉项，最终结果：∂z/∂x=y\partial z/\partial x = y⋅f1+(1/y)f_{1} + (1/y)⋅f2f_{2}；∂2z/∂x∂y=f1+xy\partial^{2}z/\partial x\partial y = f_{1} + xy⋅f11−(1/y2)f_{11} - (1/y^{2})⋅f2−(x/y3)f_{2} - (x/y^{3})⋅f22f_{22}。
过程图把「标准解法链」逐步摆开，每一步可核验。
教师只讲卡点，不逐行念。
学生对照自查：卡在哪一步？
③雷区图错在哪一步（真实数据接入位）
雷区数据接入位　本图用于把「最易错处」钉在图上的具体位置；错误率来自题库作答聚合（脱敏·按知识点「Ch9 链式法则」）。
本知识点真实错误率：数据接入后显示（暂无则不显示，绝不编造）。
雷区图把「最容易错的地方」钉在具体位置；错误率数据接入后显示。
教师只点典型错误、不点名。
学生对照自查：这几个位置我有没有踩坑？
④认知层级图本题落在 Bloom 哪一层
认知层级（Bloom）：本题在主序列中的位置记忆理解应用●分析评价创造绿=本题涉及；灰=本题不涉及（层级递进，但不要求每题都到顶）
本题涉及的认知层级（绿）——级别递进，但不要求每题都到顶。
教师据此定课堂标高。
学生知道要练到哪一层：会算 ≠ 会用。
⬆ 认知再上一级评价 / 创造 · 只增不改
⚖ 多解反思 · 解法比较（评价层）
做完别急着走，再问一层：如果把 ln 换成 arctan 或 e^(·)，链式法则的书写方式会如何变化？
能说清「为什么选它、别的为什么不行」，才算把方法用活。　溯源：题库 9-29 · thinking_guide.reflection
✍ 命题人 · 我来改一题（创造层）
试着把题改一处条件，编一个新题：把 1+x^2 换成 1+ax^2，或把 ln(·) 换成 (·)^α，答案怎样泛化？
能自己出题并给出答案，说明你摸到了这道题的「命门」。　溯源：题库 9-29 · thinking_guide.transfer
🔧 工程视角 · 学以致用（第9章题库·真实应用/建模题 #9-31 ｜ 多元函数微分学的应用）
工程问题→数学建模→本章工具→工程结论
曲面 z=x2+y2z=x^2+y^2 在点 (1,1,2)(1,1,2) 处的法线方程为____。
看工程结论
x−12=y−12=z−2−1\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{-1}
把本章工具落到一个真实应用场景——这就是「学以致用」。
🎯 小试一刀 · 先想再对
设函数 z = f(xy, x/y)，其中 f 具有二阶连续偏导数。求 ∂z/∂x\partial z/\partial x 和 ∂2z/∂x∂y\partial^{2}z/\partial x\partial y。
你自己做到哪一步？（如实自评，用于生成你的复习路径）
💡 引入中间变量 u = xy, v = x/y 进行复合函数分解
🎯 从会做 → 会迁移解题能力 · 只增不改
🧭 解题策略卡 · 识别式
拿到题先问自己：看到“外层+内层”的结构了吗？外层函数导数是什么？
把「看见什么信号 → 想到什么方法」记成条件反射，比记题型更耐用。　溯源：题库 9-29 · thinking_guide.trigger
📈 考研真题角 · 命题规律（题库真题池 · 可溯源 id · 每章 2 道）
竞赛题：设z=f(2x-y, x+3y)，f具二阶连续偏导。求∂2z/∂x∂y\partial^{2}z/\partial x\partial y。
#HC0551-015 ｜ Ch5 多元函数极限与连续 ｜ 挑战
看答案与命题人视角
2fuu−2fuv+3fvu−3fvv=2fuu+fuv−3fvv2f_{uu}-2f_{uv}+3f_{vu}-3f_{vv}=2f_{uu}+f_{uv}-3f_{vv}
命题人视角：本章是考研「工具型 + 综合型」考点，常与相邻章交叉命题，考查「识别结构 → 选方法」的熟练度。
设 z=f(x,y)z=f(x,y) 有二阶连续偏导，x=rcos⁡θx=r\cos\theta，y=rsin⁡θy=r\sin\theta，证明 ∂2z∂x2+∂2z∂y2=∂2z∂r2+1r∂z∂r+1r2∂2z∂θ2\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial^2 z}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial z}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 z}{\partial \theta^2}。
#HC0552-007 ｜ Ch5 偏导数 ｜ 挑战
看答案与命题人视角
证明见解析
命题人视角：本章是考研「工具型 + 综合型」考点，常与相邻章交叉命题，考查「识别结构 → 选方法」的熟练度。