🦞 定积AI · 图说高数 · 第7章 微分方程

微分方程 · 方程 y′′+y=sin⁡xy''+y=\sin x 的特解可设为（ ）

考研难度基础 · 1/6
第7章 微分方程 ｜ 题库题号 7-29 ｜ 增强版：强交互 · 沉浸式 · 工程思维 · 考研难度 ｜ 师生双视图同源
载体：自绘 SVG · 增强版（第7章）·零外链·数据不出本地
教师视图学生视图
题 干
方程 y′′+y=sin⁡xy''+y=\sin x 的特解可设为（ ）
  1. AAsin⁡xA\sin x
  2. BAcos⁡x+Bsin⁡xA\cos x+B\sin x
  3. Cx(Acos⁡x+Bsin⁡x)x(A\cos x+B\sin x)
  4. Dx2(Acos⁡x+Bsin⁡x)x^2(A\cos x+B\sin x)
还原图过程图雷区图认知层级图
①还原图从题干取出已知与所求
已 知二阶常系数线性方程所 求方程 y''+y=sin x 的特解可设为（ ）
A. $A\sin x$
B. $A\cos x+B\sin x$
C. $x(A\cos x+B\sin x)$
D. $x^2(A\cos x+B\sin x)$
缺口需架桥
把题干拆成「已知情境」与「所求」——先看清在问什么。
先让学生说：这题考本章哪个工具？
先自己判断结构，再动笔。
②过程图标准解答逐步（题库真题自带）
标准解答逐步（题库真题自带，逐步可核验）
  1. 齐次特征方程 r2+1=0r^2+1=0，根 ±i\pm i，sin⁡x\sin x 对应 α=0,β=1\alpha=0,\beta=1，正好是特征根（±i\pm i）。
  2. 所以特解应设为 x(Acos⁡x+Bsin⁡x)x(A\cos x+B\sin x)。
过程图把「标准解法链」逐步摆开，每一步可核验。
教师只讲卡点，不逐行念。
学生对照自查：卡在哪一步？
③雷区图错在哪一步（真实数据接入位）
雷区数据接入位　本图用于把「最易错处」钉在图上的具体位置；错误率来自题库作答聚合（脱敏·按知识点「Ch7 二阶常系数线性方程」）。
本知识点真实错误率：数据接入后显示（暂无则不显示，绝不编造）。
雷区图把「最容易错的地方」钉在具体位置；错误率数据接入后显示。
教师只点典型错误、不点名。
学生对照自查：这几个位置我有没有踩坑？
④认知层级图本题落在 Bloom 哪一层
认知层级（Bloom）：本题在主序列中的位置记忆●理解应用分析评价创造绿=本题涉及；灰=本题不涉及（层级递进，但不要求每题都到顶）
本题涉及的认知层级（绿）——级别递进，但不要求每题都到顶。
教师据此定课堂标高。
学生知道要练到哪一层：会算 ≠ 会用。
⬆ 认知再上一级评价 / 创造 · 只增不改
⚖ 多解反思 · 解法比较（评价层）
做完别急着走，再问一层：为什么要先化为标准形式？
能说清「为什么选它、别的为什么不行」，才算把方法用活。　溯源：题库 7-29 · thinking_guide.reflection
✍ 命题人 · 我来改一题（创造层）
试着把题改一处条件，编一个新题：如果右边不是多项式，方法如何调整？
能自己出题并给出答案，说明你摸到了这道题的「命门」。　溯源：题库 7-29 · thinking_guide.transfer
🔧 工程视角 · 学以致用（第7章题库·真实应用/建模题 #7-6 ｜ 微分方程概念）
工程问题→数学建模→本章工具→工程结论
放射性物质衰减满足 dN/dt = -kN，写出 N(t)
看工程结论
N = N₀e^(-kt)
把本章工具落到一个真实应用场景——这就是「学以致用」。
🎯 小试一刀 · 先想再对
方程 y′′+y=sin⁡xy''+y=\sin x 的特解可设为（ ）
💡 判断 sin⁡x\sin x 是否对应特征根。
🎯 从会做 → 会迁移解题能力 · 只增不改
🔁 举一反三 · 同型变式回练
以下为本题的同型题（题库真源 · 可溯源）——先自己做，再展开答案：
  1. 解方程：y'' - 3y' + 2y = 0
    看答案对一对
    y = C₁e^x + C₂e^(2x)
    题库 7-4 · 二阶常系数线性方程
  2. 解方程：y'' + y = 0
    看答案对一对
    y = C₁cosx + C₂sinx
    题库 7-5 · 二阶常系数线性方程
  3. 求微分方程 y′′+3y′+2y=exy''+3y'+2y=e^x 的通解。
    看答案对一对
    y=C1e−x+C2e−2x+16exy=C_1e^{-x}+C_2e^{-2x}+\frac{1}{6}e^x
    题库 7-23 · 二阶常系数线性方程
🧭 解题策略卡 · 识别式
拿到题先问自己：看到这个方程，先判断是什么类型？
把「看见什么信号 → 想到什么方法」记成条件反射，比记题型更耐用。　溯源：题库 7-29 · thinking_guide.trigger
📈 考研真题角 · 命题规律（题库真题池 · 可溯源 id · 每章 2 道）
证明：初值问题 y′=y1/3y' = y^{1/3}，y(0)=0y(0) = 0 的解不唯一。
#HC0881 一阶微分方程-010 ｜ Ch8 一阶微分方程 ｜ 挑战
看答案与命题人视角
证明如下
命题人视角：本章是考研「工具型 + 综合型」考点，常与相邻章交叉命题，考查「识别结构 → 选方法」的熟练度。
求微分方程 yy′′=(y′)2yy'' = (y')^2 的通解。
#HC0882-005 ｜ Ch8 可降阶的高阶方程 ｜ 挑战
看答案与命题人视角
y=C1eC2xy=C_1e^{C_2x}
命题人视角：本章是考研「工具型 + 综合型」考点，常与相邻章交叉命题，考查「识别结构 → 选方法」的熟练度。