第7章 · 微分方程：增强版30 题

解微分方程：dy/dx = xy

解微分方程：dy/dx = y·ln y

解微分方程：dy/dx + y = e^x

解方程：y'' - 3y' + 2y = 0

解方程：y'' + y = 0

放射性物质衰减满足 dN/dt = -kN，写出 N(t)

解方程：y'' = x

求解：y' + y/x = x^2 (x>0)

求解：y' + y = y^2 e^x

求解：(2xy+y^2)dx + (x^2+2xy)dy = 0

求解：y'' - 4y' + 4y = 0

求解：y'' - 3y' + 2y = e^x

解初值问题：y''+y=0, y(0)=1, y'(0)=0

求解：x^2y''+xy'-y=0 (x>0)

判断一阶方程 y'=-2y 的平衡解稳定性。

解：y' = x(1+y^2), y(0)=0

说明一阶线性方程 y'+P(x)y=Q(x) 的通解公式来源（积分因子/常数变易法）。

解：y''-2y'+2y=0, y(0)=0, y'(0)=1

牛顿冷却：dT/dt=-k(T-T_a)。写出通解并说明长期行为。

给出方程 A) y'+xy=x；B) y'=x+y；C) y''+y=sinx。分别判定类型并给出首选解法。

求 $y''+y=\frac1{\cos x}$ 的通解

证明：初值问题 $y' = 1 + y^2$，$y(0) = 0$ 的解为 $y = \tan x$，并确定其最大存在区间。

求微分方程 $y''+3y'+2y=e^x$ 的通解。

求微分方程 $y'' = x^2$ 的通解。

求欧拉方程 $x^2y'' - 2xy' + 2y = 0$ 的通解。

微分方程 y'''-2y''+y'=0 的阶数是？

$h''(t)+2h'(t)+5h(t)=0$，$h(0)=10$，$h'(0)=0$。求 $h(t)$。

系统满足 $\frac{dv}{dt}+kv=u(t)$，$k>0$。若 $u(t)=1$，$v(0)=0$，求 $v(t)$。

方程 $y''+y=\sin x$ 的特解可设为（ ）

求微分方程 $y'' = 2y'$ 的通解。