图说高数·增强版 · 第5章

题干

设

f(x)

在

[0,1]

上连续且单调递减，证明：

\int_0^1 x f(x)\,dx \leq \frac{1}{2}\int_0^1 f(x)\,dx

。

还原图过程图雷区图认知层级图

①还原图从题干取出已知与所求

把题干拆成「已知情境」与「所求」——先看清在问什么。

先让学生说：这题考本章哪个工具？

先自己判断结构，再动笔。

②过程图标准解答逐步（题库真题自带）

标准解答逐步（题库真题自带，逐步可核验）

令 $F(t) = \int_0^t f(x)\,dx$ 。由 $f$ 单调递减，对任意 $t\in[0,1]$ 有 $t f(t) \leq \int_0^t f(x)\,dx$ 。
证明左边不等式等价于 $\int_0^1 x f(x)\,dx \leq \int_0^1 \frac{1}{2}f(x)\,dx$ 。考虑差值 $\int_0^1 \left(\frac{1}{2}-x\right)f(x)\,dx$ 。
令 $I = \int_0^1 \left(\frac{1}{2}-x\right)f(x)\,dx$ 。利用积分中值定理的推广：存在 $\xi\in(0,1)$ 使 $I = f(\xi)\int_0^1 \left(\frac{1}{2}-x\right)\,dx$ 。 $\int_0^1 \left(\frac{1}{2}-x\right)dx = \left[\frac{x}{2}-\frac{x^2}{2}\right]_0^1=0$ ，故 $I=0$ ，无法直接得出。
正确方法：将 $[0,1]$ 拆分为 $[0,\frac12]$ 和 $[\frac12,1]$ 。在 $[0,\frac12]$ 上 $\frac12-x\geq0$ ， $f(x)\geq f(\frac12)$ （减函数）。在 $[\frac12,1]$ 上 $\frac12-x\leq0$ ， $f(x)\leq f(\frac12)$ 。从而 $I \leq f(\frac12)\int_0^{1/2}(\frac12-x)dx + f(\frac12)\int_{1/2}^1(\frac12-x)dx = f(\frac12)\cdot\frac18 + f(\frac12)\cdot(-\frac18)=0$ 。故 $I\leq0$ ，原不等式成立。

过程图把「标准解法链」逐步摆开，每一步可核验。

教师只讲卡点，不逐行念。

学生对照自查：卡在哪一步？

③雷区图错在哪一步（真实数据接入位）

雷区数据接入位　本图用于把「最易错处」钉在图上的具体位置；错误率来自题库作答聚合（脱敏·按知识点「Ch5 定积分不等式」）。

本知识点真实错误率：数据接入后显示（暂无则不显示，绝不编造）。

雷区图把「最容易错的地方」钉在具体位置；错误率数据接入后显示。

教师只点典型错误、不点名。

学生对照自查：这几个位置我有没有踩坑？

④认知层级图本题落在 Bloom 哪一层

本题涉及的认知层级（绿）——级别递进，但不要求每题都到顶。

教师据此定课堂标高。

学生知道要练到哪一层：会算 ≠ 会用。

⬆ 认知再上一级评价 / 创造 · 只增不改

⚖ 多解反思 · 解法比较（评价层）

做完别急着走，再问一层：放缩方向如何影响不等号？等号何时成立？

能说清「为什么选它、别的为什么不行」，才算把方法用活。　溯源：题库 5-28 · thinking_guide.reflection

✍ 命题人 · 我来改一题（创造层）

试着把题改一处条件，编一个新题：把区间 [a,b] 缩短一半，不等式如何收紧？

能自己出题并给出答案，说明你摸到了这道题的「命门」。　溯源：题库 5-28 · thinking_guide.transfer

🎯 小试一刀 · 先想再对

设

f(x)

在

[0,1]

上连续且单调递减，证明：

\int_0^1 x f(x)\,dx \leq \frac{1}{2}\int_0^1 f(x)\,dx

。

你自己做到哪一步？（如实自评，用于生成你的复习路径）

💡 将区间拆分为

[0,\frac12]

和

[\frac12,1]

，利用单调性放缩

🎯 从会做 → 会迁移解题能力 · 只增不改

🔁 举一反三 · 同型变式回练

以下为本题的同型题（题库真源 · 可溯源）——先自己做，再展开答案：

设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且对任意 $x\in[0,1]$ 有 $f(x)>0$ 。记 $I_1=\int_0^1 \ln f(x)\,dx$ ， $I_2=\ln\left(\int_0^1 f(x)\,dx\right)$ 。则 $I_1$ 与 $I_2$ 的大小关系为
看答案对一对
A
题库 5-24 · 定积分不等式

🧭 解题策略卡 · 识别式

拿到题先问自己：积分不等式先看被积函数能否放缩，或能否化成可积的界。

把「看见什么信号 → 想到什么方法」记成条件反射，比记题型更耐用。　溯源：题库 5-28 · thinking_guide.trigger

📈 考研真题角 · 命题规律（题库真题池 · 可溯源 id · 每章 2 道）

计算极限：

\lim_{x\to0}\frac{\int_0^{x^2}\sin(t^2)dt}{x^6}

#HC0313-001 ｜ Ch3 定积分｜挑战

看答案与命题人视角

\frac13

命题人视角：本章是考研「工具型 + 综合型」考点，常与相邻章交叉命题，考查「识别结构 → 选方法」的熟练度。

计算不定积分

\int \frac{1}{(x^2+2x+2)^2} dx

#HC0332-012 ｜ Ch3 不定积分｜挑战

看答案与命题人视角

\frac12\arctan(x+1)+\frac{x+1}{2(x^2+2x+2)}+C

命题人视角：本章是考研「工具型 + 综合型」考点，常与相邻章交叉命题，考查「识别结构 → 选方法」的熟练度。

定积分 · 设 f(x)f(x)f(x) 在 [0,1][0,1][0,1] 上连续且单调递减，证明：∫01xf(x) dx≤12∫01f(x) dx\int_0^1 x f(x)\,dx \leq \frac{1}{2}\int_0^1 f(x)\,dx∫01​xf(x)dx≤21​∫01​f(x)dx。

定积分 · 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续且单调递减，证明： $\int_0^1 x f(x)\,dx \leq \frac{1}{2}\int_0^1 f(x)\,dx$ 。