第5章 · 定积分：增强版30 题

计算定积分：∫₀¹ x² dx

计算：d/dx ∫₀ˣ sint dt

计算定积分：∫₁ᵉ (lnx)/x dx

计算定积分：∫₀¹ xe^x dx

判断广义积分 ∫₁^∞ 1/x^p dx 的敛散性

计算广义积分：∫₀^∞ e^(-x) dx

计算定积分：∫₀¹ x ln(1+x) dx

计算：∫_{-1}^{1} x^3 cos x dx

计算：∫₀^{π/2} sin x/(1+cos x) dx

设 I_n=∫₀^{π/2} sin^n x dx，写出递推 I_n 与 I_{n-2} 的关系。

设 F(a)=∫₀^1 x^a dx(a>-1)，求 F(a) 并计算 F'(a)。

判断 ∫_1^∞ (sin x)/x dx 是否收敛，并说明（无需给出数值）。

设 I(a)=∫₀^1 |x-a| dx，求 I(a) 的最小值及取到最小的 a。

计算：∫₀^1 x/(1+x) dx

计算：∫₀^1 x(1-x) dx，并指出它与 ∫₀^1 x^a(1-x)^b dx 的关系。

计算：∫₀^1 (ln x)/(1+x) dx（提示：可用展开或对称）。

计算：∫₀^1 √(1-x^2) dx

判断 ∫₀^1 1/√x dx 是否收敛，并计算其值。

设 F(x)=∫₀^x (t/(1+t^2)) dt，讨论 F(x) 的单调性与极限 lim(x→∞)F(x)。

设 I_n=∫₀^1 x^n/(1+x) dx (n∈N)，建立 I_n 的递推关系并给出 I_0。

求$y=x^{2}$与y=x所围图形面积。

设 $f(x)=\begin{cases}1,& x\in\mathbb{Q}\\0,& x\notin\mathbb{Q}\end{cases}$，则 $f$ 在 $[0,1]$ 上（ ）

求曲线$y = \ln(\cos x)$在区间$[0, \frac{\pi}{4}]$上的弧长。

设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且对任意 $x\in[0,1]$ 有 $f(x)>0$。记 $I_1=\int_0^1 \ln f(x)\,dx$，$I_2=\ln\left(\int_0^1 f(x)\,dx\right)$。则 $I_1$ 与 $I_2$ 的大小关系为

求由$y=x^{2}$和y=4所围图形绕y轴旋转所得旋转体体积。

若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $\int_a^b f(x)\,dx$ 与 $\int_a^b f(t)\,dt$ 的关系是（ ）

判断 $\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x(1-x)}}$ 的敛散性。

设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续且单调递减，证明：$\int_0^1 x f(x)\,dx \leq \frac{1}{2}\int_0^1 f(x)\,dx$。

设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可导，$f(0)=0$，$|f'(x)|\le 1$。证明：$\left|\int_0^1 f(x)\,dx\right| \le \frac12$。

利用定积分定义求 $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \sqrt{1+\frac{k}{n}}$。