图说高数·增强版 · 第5章

题干

判断

\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x(1-x)}}

的敛散性。

还原图过程图雷区图认知层级图

①还原图从题干取出已知与所求

把题干拆成「已知情境」与「所求」——先看清在问什么。

先让学生说：这题考本章哪个工具？

先自己判断结构，再动笔。

②过程图标准解答逐步（题库真题自带）

标准解答逐步（题库真题自带，逐步可核验）

【思路分析】在 $x=0$ 附近，被积函数 $\sim \frac{1}{\sqrt{x}}$ ， $\int_0^{\varepsilon} x^{-1/2} dx$ 收敛；在 $x=1$ 附近，令 $t=1-x$ ，类似，故收敛。
也可直接计算 $\int_0^1 x^{-1/2}(1-x)^{-1/2} dx = B(1/2,1/2)=\pi$ ，收敛。

过程图把「标准解法链」逐步摆开，每一步可核验。

教师只讲卡点，不逐行念。

学生对照自查：卡在哪一步？

③雷区图错在哪一步（真实数据接入位）

雷区数据接入位　本图用于把「最易错处」钉在图上的具体位置；错误率来自题库作答聚合（脱敏·按知识点「Ch5 反常积分」）。

本知识点真实错误率：数据接入后显示（暂无则不显示，绝不编造）。

雷区图把「最容易错的地方」钉在具体位置；错误率数据接入后显示。

教师只点典型错误、不点名。

学生对照自查：这几个位置我有没有踩坑？

④认知层级图本题落在 Bloom 哪一层

本题涉及的认知层级（绿）——级别递进，但不要求每题都到顶。

教师据此定课堂标高。

学生知道要练到哪一层：会算 ≠ 会用。

⬆ 认知再上一级评价 / 创造 · 只增不改

⚖ 多解反思 · 解法比较（评价层）

做完别急着走，再问一层：为什么虽然函数在 0 发散，积分仍可能收敛？

能说清「为什么选它、别的为什么不行」，才算把方法用活。　溯源：题库 5-27 · thinking_guide.reflection

✍ 命题人 · 我来改一题（创造层）

试着把题改一处条件，编一个新题：把 1/√x 换成 1/x^p，收敛阈值是多少？

能自己出题并给出答案，说明你摸到了这道题的「命门」。　溯源：题库 5-27 · thinking_guide.transfer

🎯 小试一刀 · 先想再对

判断

\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x(1-x)}}

的敛散性。

你自己做到哪一步？（如实自评，用于生成你的复习路径）

💡 在端点处用比较审敛法。

🎯 从会做 → 会迁移解题能力 · 只增不改

🔁 举一反三 · 同型变式回练

以下为本题的同型题（题库真源 · 可溯源）——先自己做，再展开答案：

求曲线 $y = \ln(\cos x)$ 在区间 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 上的弧长。
看答案对一对
$\ln(1+\sqrt{2})$
题库 5-23 · 反常积分

🧭 解题策略卡 · 识别式

拿到题先问自己：端点型反常积分先看 x=0 附近的 p 型。

把「看见什么信号 → 想到什么方法」记成条件反射，比记题型更耐用。　溯源：题库 5-27 · thinking_guide.trigger

📈 考研真题角 · 命题规律（题库真题池 · 可溯源 id · 每章 2 道）

计算极限：

\lim_{x\to0}\frac{\int_0^{x^2}\sin(t^2)dt}{x^6}

#HC0313-001 ｜ Ch3 定积分｜挑战

看答案与命题人视角

\frac13

命题人视角：本章是考研「工具型 + 综合型」考点，常与相邻章交叉命题，考查「识别结构 → 选方法」的熟练度。

计算不定积分

\int \frac{1}{(x^2+2x+2)^2} dx

#HC0332-012 ｜ Ch3 不定积分｜挑战

看答案与命题人视角

\frac12\arctan(x+1)+\frac{x+1}{2(x^2+2x+2)}+C

命题人视角：本章是考研「工具型 + 综合型」考点，常与相邻章交叉命题，考查「识别结构 → 选方法」的熟练度。

定积分 · 判断 ∫01dxx(1−x)\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x(1-x)}}∫01​x(1−x)​dx​ 的敛散性。

定积分 · 判断 $\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x(1-x)}}$ 的敛散性。