🦞 定积AI · 图说高数 · 第5章 定积分

定积分 · 设 f(x)f(x) 在 [0,1][0,1] 上连续，且对任意 x∈[0,1]x\in[0,1] 有 f(x)>0f(x)>0。记 I1=∫01ln⁡f(x) dxI_1=\int_0^1 \ln f(x)\,dx，I2=ln⁡(∫01f(x) dx)I_2=\ln\left(\int_0^1 f(x)\,dx\right)。则 I1I_1 与 I2I_2 的大小关系为

考研难度挑战 · 5/6
第5章 定积分 ｜ 题库题号 5-24 ｜ 增强版：强交互 · 沉浸式 · 工程思维 · 考研难度 ｜ 师生双视图同源
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题 干
设 f(x)f(x) 在 [0,1][0,1] 上连续，且对任意 x∈[0,1]x\in[0,1] 有 f(x)>0f(x)>0。记 I1=∫01ln⁡f(x) dxI_1=\int_0^1 \ln f(x)\,dx，I2=ln⁡(∫01f(x) dx)I_2=\ln\left(\int_0^1 f(x)\,dx\right)。则 I1I_1 与 I2I_2 的大小关系为
  1. AI1<I2I_1<I_2
  2. BI1>I2I_1>I_2
  3. CI1=I2I_1=I_2
  4. D无法确定
还原图过程图雷区图认知层级图
①还原图从题干取出已知与所求
已 知定积分不等式所 求设 f(x) 在 [0,1] 上连续，且对任意 x∈[0,1] 有f(x)gt;0。记 I₁=∫₀¹ lnf(x) dx，I₂=ln(∫₀¹ f(x)dx)。则 I₁ 与 I₂ 的大小关系为
A. $I_1<I_2$
B. $I_1>I_2$
C. $I_1=I_2$
D. 无法确定
缺口需架桥
把题干拆成「已知情境」与「所求」——先看清在问什么。
先让学生说：这题考本章哪个工具？
先自己判断结构，再动笔。
②过程图标准解答逐步（题库真题自带）
标准解答逐步（题库真题自带，逐步可核验）
  1. 由 Jensen 不等式，ln⁡\ln 是凹函数，故 ln⁡(∫01f(x) dx)≥∫01ln⁡(f(x)) dx\ln\left(\int_0^1 f(x)\,dx\right) \geq \int_0^1 \ln(f(x))\,dx。这是积分形式的 Jensen 不等式。
  2. 由于 f(x)>0f(x)>0 且连续，ln⁡f(x)\ln f(x) 连续。Jensen 不等式中等号成立当且仅当 f(x)f(x) 几乎处处为常数。一般情况下 f(x)f(x) 不恒为常数，故 I1<I2I_1 < I_2。
  3. 特殊例子验证：f(x)=x+1f(x)=x+1，I1=∫01ln⁡(x+1)dx=[xln⁡(x+1)−x+ln⁡(x+1)]01=2ln⁡2−1I_1=\int_0^1\ln(x+1)dx = [x\ln(x+1)-x+\ln(x+1)]_0^1 = 2\ln2-1，I2=ln⁡(∫01(x+1)dx)=ln⁡(3/2)I_2=\ln(\int_0^1 (x+1)dx)=\ln(3/2)。2ln⁡2−1≈0.3862\ln2-1 \approx 0.386，ln⁡(3/2)≈0.405\ln(3/2)\approx0.405，I1<I2I_1<I_2 成立。
过程图把「标准解法链」逐步摆开，每一步可核验。
教师只讲卡点，不逐行念。
学生对照自查：卡在哪一步？
③雷区图错在哪一步（真实数据接入位）
雷区数据接入位　本图用于把「最易错处」钉在图上的具体位置；错误率来自题库作答聚合（脱敏·按知识点「Ch5 定积分不等式」）。
本知识点真实错误率：数据接入后显示（暂无则不显示，绝不编造）。
雷区图把「最容易错的地方」钉在具体位置；错误率数据接入后显示。
教师只点典型错误、不点名。
学生对照自查：这几个位置我有没有踩坑？
④认知层级图本题落在 Bloom 哪一层
认知层级（Bloom）：本题在主序列中的位置记忆理解应用分析评价●创造绿=本题涉及；灰=本题不涉及（层级递进，但不要求每题都到顶）
本题涉及的认知层级（绿）——级别递进，但不要求每题都到顶。
教师据此定课堂标高。
学生知道要练到哪一层：会算 ≠ 会用。
⬆ 认知再上一级评价 / 创造 · 只增不改
⚖ 多解反思 · 解法比较（评价层）
做完别急着走，再问一层：放缩方向如何影响不等号？等号何时成立？
能说清「为什么选它、别的为什么不行」，才算把方法用活。　溯源：题库 5-24 · thinking_guide.reflection
✍ 命题人 · 我来改一题（创造层）
试着把题改一处条件，编一个新题：把区间 [a,b] 缩短一半，不等式如何收紧？
能自己出题并给出答案，说明你摸到了这道题的「命门」。　溯源：题库 5-24 · thinking_guide.transfer
🎯 小试一刀 · 先想再对
设 f(x)f(x) 在 [0,1][0,1] 上连续，且对任意 x∈[0,1]x\in[0,1] 有 f(x)>0f(x)>0。记 I1=∫01ln⁡f(x) dxI_1=\int_0^1 \ln f(x)\,dx，I2=ln⁡(∫01f(x) dx)I_2=\ln\left(\int_0^1 f(x)\,dx\right)。则 I1I_1 与 I2I_2 的大小关系为
💡 利用 Jensen 不等式处理凸(凹)函数的积分平均与函数值的平均
🎯 从会做 → 会迁移解题能力 · 只增不改
🔁 举一反三 · 同型变式回练
以下为本题的同型题（题库真源 · 可溯源）——先自己做，再展开答案：
  1. 设 f(x)f(x) 在 [0,1][0,1] 上连续且单调递减，证明：∫01xf(x) dx≤12∫01f(x) dx\int_0^1 x f(x)\,dx \leq \frac{1}{2}\int_0^1 f(x)\,dx。
    看答案对一对
    利用积分中值定理或柯西-施瓦茨不等式。
    题库 5-28 · 定积分不等式
🧭 解题策略卡 · 识别式
拿到题先问自己：积分不等式先看被积函数能否放缩，或能否化成可积的界。
把「看见什么信号 → 想到什么方法」记成条件反射，比记题型更耐用。　溯源：题库 5-24 · thinking_guide.trigger
📈 考研真题角 · 命题规律（题库真题池 · 可溯源 id · 每章 2 道）
计算极限：lim⁡x→0∫0x2sin⁡(t2)dtx6\lim_{x\to0}\frac{\int_0^{x^2}\sin(t^2)dt}{x^6}
#HC0313-001 ｜ Ch3 定积分 ｜ 挑战
看答案与命题人视角
13\frac13
命题人视角：本章是考研「工具型 + 综合型」考点，常与相邻章交叉命题，考查「识别结构 → 选方法」的熟练度。
计算不定积分 ∫1(x2+2x+2)2dx\int \frac{1}{(x^2+2x+2)^2} dx
#HC0332-012 ｜ Ch3 不定积分 ｜ 挑战
看答案与命题人视角
12arctan⁡(x+1)+x+12(x2+2x+2)+C\frac12\arctan(x+1)+\frac{x+1}{2(x^2+2x+2)}+C
命题人视角：本章是考研「工具型 + 综合型」考点，常与相邻章交叉命题，考查「识别结构 → 选方法」的熟练度。