图说高数·增强版 · 第3章

题干

求曲线

y=\ln x

在点

(1,0)

处的曲率。

还原图过程图雷区图认知层级图

①还原图从题干取出已知与所求

把题干拆成「已知情境」与「所求」——先看清在问什么。

先让学生说：这题考本章哪个工具？

先自己判断结构，再动笔。

②过程图标准解答逐步（题库真题自带）

标准解答逐步（题库真题自带，逐步可核验）

曲率公式 $K=\frac{|y''|}{(1+y'^2)^{3/2}}$
$y'=\frac1x$ ， $y''=-\frac1{x^2}$ ，在 $(1,0)$ 处 $y'=1$ ， $y''=-1$
$K=\frac{|-1|}{(1+1^2)^{3/2}}=\frac{1}{2^{3/2}}=\frac{1}{2\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{4}$

过程图把「标准解法链」逐步摆开，每一步可核验。

教师只讲卡点，不逐行念。

学生对照自查：卡在哪一步？

③雷区图错在哪一步（真实数据接入位）

雷区数据接入位　本图用于把「最易错处」钉在图上的具体位置；错误率来自题库作答聚合（脱敏·按知识点「Ch3 曲率」）。

本知识点真实错误率：数据接入后显示（暂无则不显示，绝不编造）。

雷区图把「最容易错的地方」钉在具体位置；错误率数据接入后显示。

教师只点典型错误、不点名。

学生对照自查：这几个位置我有没有踩坑？

④认知层级图本题落在 Bloom 哪一层

本题涉及的认知层级（绿）——级别递进，但不要求每题都到顶。

教师据此定课堂标高。

学生知道要练到哪一层：会算 ≠ 会用。

⬆ 认知再上一级评价 / 创造 · 只增不改

⚖ 多解反思 · 解法比较（评价层）

做完别急着走，再问一层：参数方程形式的曲率公式为何多一个分母？

能说清「为什么选它、别的为什么不行」，才算把方法用活。　溯源：题库 3-26 · thinking_guide.reflection

✍ 命题人 · 我来改一题（创造层）

试着把题改一处条件，编一个新题：把直线 y=kx+b 代入，曲率应为多少？

能自己出题并给出答案，说明你摸到了这道题的「命门」。　溯源：题库 3-26 · thinking_guide.transfer

🔧 工程视角 · 学以致用（第3章题库·真实应用/建模题 #3-23 ｜导数应用）

工程问题→数学建模→本章工具→工程结论

求曲线

y=x^{3}-3x^{2}+3x+1

的凹凸区间与拐点。

看工程结论

-4xy/(x^{2}+y^{2})^{2}

把本章工具落到一个真实应用场景——这就是「学以致用」。

🎯 小试一刀 · 先想再对

求曲线

y=\ln x

在点

(1,0)

处的曲率。

你自己做到哪一步？（如实自评，用于生成你的复习路径）

💡 使用曲率公式

K=|y''|/(1+y'^2)^{3/2}

🎯 从会做 → 会迁移解题能力 · 只增不改

🧭 解题策略卡 · 识别式

拿到题先问自己：求曲率先算 y'、y''，代入 K=|y''|/(1+y'^2)^{3/2}。

把「看见什么信号 → 想到什么方法」记成条件反射，比记题型更耐用。　溯源：题库 3-26 · thinking_guide.trigger

📈 考研真题角 · 命题规律（题库真题池 · 可溯源 id · 每章 2 道）

判断：若f(x)在x=0处可导，则|f(x)|在x=0处一定可导。

#HC0221-023 ｜ Ch2 导数概念｜挑战

看答案与命题人视角

命题人视角：本章是考研「工具型 + 综合型」考点，常与相邻章交叉命题，考查「识别结构 → 选方法」的熟练度。

函数

f(x)

在

[0,1]

上二阶可导，

f(0)=f(1)=0

，且

\min_{[0,1]} f(x) = -1

。证明：存在

\xi\in(0,1)

使得

f''(\xi) \ge 8

。

#HC02211-001 ｜ Ch2 微分中值定理｜挑战

看答案与命题人视角

见解析

命题人视角：本章是考研「工具型 + 综合型」考点，常与相邻章交叉命题，考查「识别结构 → 选方法」的熟练度。

微分中值定理与导数的应用 · 求曲线 y=ln⁡xy=\ln xy=lnx 在点 (1,0)(1,0)(1,0) 处的曲率。

微分中值定理与导数的应用 · 求曲线 $y=\ln x$ 在点 $(1,0)$ 处的曲率。