第3章 · 微分中值定理与导数的应用：增强版30 题

验证 f(x) = x^2 在 [0,2] 上是否满足拉格朗日中值定理条件，并求 ξ

用洛必达法则求极限：lim(x→0) sinx / x

用洛必达法则求极限：lim(x→∞) x / e^x

用洛必达法则求极限：lim(x→0) (e^x - 1) / x

写出 f(x) = e^x 在 x=0 处的二阶泰勒公式

写出 f(x) = sinx 在 x=0 处的三阶泰勒公式

求函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 的极大值和极小值

证明：x > 0 时，ln(1+x) < x

判断曲线 y = x^3 的凹凸性

设 f 在 [a,b] 连续、(a,b) 可导且 f(a)=f(b)。证明存在 ξ∈(a,b) 使 f'(ξ)=0。

对 f(x)=ln x，在区间 [1,e] 上求满足拉格朗日中值定理的 ξ

设 f,g 在 [a,b] 连续、(a,b) 可导，且 g'(x)≠0。证明存在 ξ∈(a,b) 使 [f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)] = f'(ξ)/g'(ξ)。

讨论 f(x)=x^4-4x^2 的极值点和极值

求 f(x)=x^3-3x 在 [-2,2] 上的最大值与最小值

求 y=x^3-3x 的凹凸区间与拐点

求函数 f(x)=(2x^2+1)/(x-1) 的渐近线

给出函数 y=x^3-3x+1 的作图关键点（单调区间、极值点、拐点）。

证明：对 x>-1，恒有 ln(1+x) ≤ x，且当且仅当 x=0 取等。

判断 x=0 是否为 f(x)=x^4 的极值点，并说明理由。

求参数 a 的取值，使函数 f(x)=x^2-2ax+2 在区间 [0,1] 上的最小值为 1。

求曲线 $y = x^4 - 6x^2 + 3x + 1$ 的凹凸区间和拐点。

设$f(x)=\arctan x$，求$f^{(n)}(0)$。

求曲线$y=x^{3}-3x^{2}+3x+1$的凹凸区间与拐点。

求曲线$y = x^2 + 1$在点(1,2)处的曲率。

求 $f(x)=x^4-8x^3+22x^2-24x+9$ 的极值

求曲线 $y=\ln x$ 在点 $(1,0)$ 处的曲率。

设 $x>0$，证明：$\frac{x}{1+x} < \ln(1+x) < x$。

曲线 $y = x^3 - 3x^2 + 1$ 在 $x=1$ 处的曲率半径 $\rho$ 为：

设 $f(x)$ 二阶可导，$f(0)=f(1)=0$，$\min_{[0,1]}f(x)=-1$。证明 $\exists\xi\in(0,1)$ 使 $f''(\xi)\ge8$。

曲线 $y=x^3-3x$，求曲率最大处的 $x$ 坐标。