🦞 定积AI · 图说高数 · 第2章 导数与微分

导数与微分 · 求曲线 {x=t2y=t3\begin{cases} x = t^2 \\ y = t^3 \end{cases} 在 t=1t=1 处的切线方程。

考研难度基础 · 1/6
第2章 导数与微分 ｜ 题库题号 2-36 ｜ 增强版：强交互 · 沉浸式 · 工程思维 · 考研难度 ｜ 师生双视图同源
载体：自绘 SVG · 增强版（第2章）·零外链·数据不出本地
教师视图学生视图
题 干
求曲线 {x=t2y=t3\begin{cases} x = t^2 \\ y = t^3 \end{cases} 在 t=1t=1 处的切线方程。
还原图过程图雷区图认知层级图
1还原图从题干取出已知与所求
已 知x = t²，y = t³，t = 1所 求求 t=1 处切线方程缺口需架桥
斜率为 3/2，切点为 (1,1)。
教师切点用参数式算，别凭感觉写。
学生先 (x₀,y₀)，再 k，再点斜式。
2过程图标准解答逐步（题库真题自带）
标准解答逐步（题库真题自带，逐步可核验）
  1. 参数方程求导：dydx=dy/dtdx/dt=3t22t=3t2\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{3t^2}{2t} = \frac{3t}{2}。
  2. 当 t=1t=1 时，斜率 k=32k = \frac{3}{2}，点坐标为 (1,1)(1, 1)。
  3. 切线方程：y−1=32(x−1)y - 1 = \frac{3}{2}(x - 1)，整理得 3x−2y=13x - 2y = 1。
过程图把「标准解法链」逐步摆开，每一步可核验。
教师只讲卡点，不逐行念。
学生对照自查：卡在哪一步？
3方法矩阵识别特征 → 判别方法 → 实例
方法选择矩阵：看识别特征 → 定判别方法 → 对到实例（本行高亮本题）识别特征判别方法实例导数定义差商取极限，系数先配平（2h / −h）2-1 / 2-20四则与复合基本公式 + 链式法则逐层乘2-2 / 2-4 / 2-9幂指型取对数化成乘积再求导（x^x、x^sinx）2-11 / 2-28隐函数两边对 x 求导，y 视为 x 的复合函数2-10 / 2-24 / 2-32参数方程一阶 = (dy/dt)/(dx/dt)；二阶再除一次 dx/dt（一阶 2-12 / 2-46；二阶 2-31 / 2-37 / 2-38；切线 2-26 / 2-32 / 2-36）2-12 / 2-31 / 2-37高阶导数逐阶找规律；乘积用莱布尼茨公式2-5 / 2-13 / 2-30微分dy = f′(x)dx；近似误差 O(dx²)2-7 / 2-8 / 2-18导数应用切线法线 / 单调极值 / 最值 / 零点个数2-14 / 2-15 / 2-19概念辨析洛必达前提、拉格朗日中值定理的 ξ2-17 / 2-24
章级方法索引：先认结构，再定方法；本行高亮本题所用方法。
教师让学生自己把本题归到某一行，再讲这一行为什么成立。
学生先归位再看过程图：这题属于哪一行？
4思维导航图触发 → 反思 → 迁移（题库真实思维引导）
思维导航：看懂题目 → 回看过程 → 迁移条件触发求导前先看结构：乘积、商、复合、幂指，各对应哪条法则？反思幂指函数 x^x 该用对数求导还是改写为 e^(x ln x)？迁移把 ln x 换成 1/x，链式法则的哪一层会变？
来自题库「思维引导」字段：看懂题目 → 回看过程 → 迁移条件。
教师把「为什么这么做」讲透，比讲「怎么做」更重要。
学生用自己的话回答「触发」那一问。
5路径图考场四步走
认结构先看能否化简套基本公式基本初等函数用链式法则逐层乘内导化简写最终结果枢纽：第 3 步是全题咽喉，学生必须亲手补全这一步。
四步路径，每步产出一个可核验的中间结果。
教师提醒：第 3 步是全题枢纽。
学生如果卡住，先补第 3 步。
6雷区图错在哪一步（真实数据接入位）
雷区数据接入位　本图用于把「最易错处」钉在图上的具体位置；错误率来自题库作答聚合（脱敏·按知识点「Ch2 导数计算」）。
本知识点真实错误率：数据接入后显示（暂无则不显示，绝不编造）。
雷区图把「最容易错的地方」钉在具体位置；错误率数据接入后显示。
教师只点典型错误、不点名。
学生对照自查：这几个位置我有没有踩坑？
7认知层级图本题落在 Bloom 哪一层
认知层级（Bloom）：本题在主序列中的位置记忆理解应用●分析评价创造绿=本题涉及；灰=本题不涉及（层级递进，但不要求每题都到顶）
本题涉及的认知层级（绿）——级别递进，但不要求每题都到顶。
教师据此定课堂标高。
学生知道要练到哪一层：会算 ≠ 会用。
⬆ 认知再上一级评价 / 创造 · 只增不改
⚖ 多解反思 · 解法比较（评价层）
做完别急着走，再问一层：幂指函数 x^x 该用对数求导还是改写为 e^{x ln x}？
能说清「为什么选它、别的为什么不行」，才算把方法用活。　溯源：题库 2-36 · thinking_guide.reflection
✍ 命题人 · 我来改一题（创造层）
试着把题改一处条件，编一个新题：把 ln x 换成 1/x，链式法则的哪一层会变？
能自己出题并给出答案，说明你摸到了这道题的「命门」。　溯源：题库 2-36 · thinking_guide.transfer
🔧 工程视角 · 学以致用（第2章题库·真实应用/建模题 #2-14 ｜ 切线与法线）
工程问题→数学建模→本章工具→工程结论
求曲线 y=x2y = x^2 在点 (1,1)(1,1) 处的切线方程
看工程结论
y-1 = 2(x-1)
把本章工具落到一个真实应用场景——这就是「学以致用」。
🎯 小试一刀 · 先想再对
求曲线 {x=t2y=t3\begin{cases} x = t^2 \\ y = t^3 \end{cases} 在 t=1t=1 处的切线方程。
你自己做到哪一步？（如实自评，用于生成你的复习路径）
💡 参数方程求导公式：dydx=dy/dtdx/dt\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}。
🎯 从会做 → 会迁移解题能力 · 只增不改
🔁 举一反三 · 同型变式回练
以下为本题的同型题（题库真源 · 可溯源）——先自己做，再展开答案：
  1. 若 f(x)=x2ln⁡xf(x)=x^2\ln x，则 f′(x)=f'(x)= ____。
    看答案对一对
    2xln⁡x+x2x\ln x + x
    题库 2-22 · 导数计算
  2. 求 y=xsin⁡xy=x^{\sin x} 的导数
    看答案对一对
    xsin⁡x(cos⁡xln⁡x+sin⁡xx)x^{\sin x}(\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x})
    题库 2-28 · 导数计算
  3. 参数方程 {x=t2y=t3\begin{cases} x=t^2 \\ y=t^3 \end{cases}，求 dydx\frac{dy}{dx} 和 d2ydx2\frac{d^2y}{dx^2}。
    看答案对一对
    dydx=3t2\frac{dy}{dx}=\frac{3t}{2}，d2ydx2=34t\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{3}{4t}
    题库 2-31 · 导数计算
🧭 解题策略卡 · 识别式
拿到题先问自己：求导前先看结构：乘积、商、复合、幂指，各对应哪条法则？
把「看见什么信号 → 想到什么方法」记成条件反射，比记题型更耐用。　溯源：题库 2-36 · thinking_guide.trigger
📈 考研真题角 · 命题规律（题库真题池 · 可溯源 id · 每章 2 道）
判断：若f(x)在x=0处可导，则|f(x)|在x=0处一定可导。
#HC0221-023 ｜ Ch2 导数概念 ｜ 挑战
看答案与命题人视角
C
命题人视角：本章是考研「工具型 + 综合型」考点，常与相邻章交叉命题，考查「识别结构 → 选方法」的熟练度。
函数 f(x)f(x) 在 [0,1][0,1] 上二阶可导，f(0)=f(1)=0f(0)=f(1)=0，且 min⁡[0,1]f(x)=−1\min_{[0,1]} f(x) = -1。证明：存在 ξ∈(0,1)\xi\in(0,1) 使得 f′′(ξ)≥8f''(\xi) \ge 8。
#HC02211-001 ｜ Ch2 微分中值定理 ｜ 挑战
看答案与命题人视角
见解析
命题人视角：本章是考研「工具型 + 综合型」考点，常与相邻章交叉命题，考查「识别结构 → 选方法」的熟练度。