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第2章 · 导数与微分：增强版47 题

强交互·沉浸式·学以致用（工程视角，取本章真实应用/建模题）·考研难度（难度标尺 + 考研真题角）。独立目录 ch2-plus，零侵染。
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2-1
用定义求导数：f(x)=x2+2xf(x) = x^2 + 2x，求 f′(x)f'(x)
题库题号 2-1 ｜ 计算 ｜ Ch2 导数定义
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2-2
求导数：y=sin⁡x⋅cos⁡xy = \sin x \cdot \cos x
题库题号 2-2 ｜ 计算 ｜ Ch2 求导法则
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2-3
求导数：y=ln⁡(sin⁡x)y = \ln(\sin x)
题库题号 2-3 ｜ 计算 ｜ Ch2 求导法则
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2-4
求导数：y=ex2y = e^{x^2}
题库题号 2-4 ｜ 计算 ｜ Ch2 求导法则
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2-5
求 y=exy = e^x 的 nn 阶导数
题库题号 2-5 ｜ 计算 ｜ Ch2 高阶导数
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2-6
求 y=sin⁡xy = \sin x 的二阶导数
题库题号 2-6 ｜ 计算 ｜ Ch2 高阶导数
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2-7
求函数 y=x3y = x^3 在 x=1x=1, dx=0.1dx=0.1 处的微分 dydy
题库题号 2-7 ｜ 计算 ｜ Ch2 微分概念
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2-8
利用微分近似计算 4.01\sqrt{4.01}
题库题号 2-8 ｜ 应用 ｜ Ch2 微分概念
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2-9
求导：y=ln⁡(1+x2)y = \ln(1 + x^2)
题库题号 2-9 ｜ 计算 ｜ Ch2 复合函数求导（链式法则）
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2-10
设方程 x2+xy+y2=1x^2 + xy + y^2 = 1 确定 y=y(x)y=y(x)，求 dydx\dfrac{dy}{dx}
题库题号 2-10 ｜ 计算 ｜ Ch2 隐函数求导（考研常考）
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2-11
求导：y=xxy = x^x (x>0)(x>0)
题库题号 2-11 ｜ 计算 ｜ Ch2 对数求导（指数幂函数）
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2-12
设 x=t2+1x=t^2+1, y=t3−1y=t^3-1，求 dydx\dfrac{dy}{dx}
题库题号 2-12 ｜ 计算 ｜ Ch2 参数方程求导
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2-13
求 y=e2xy = e^{2x} 的第 nn 阶导数
题库题号 2-13 ｜ 计算 ｜ Ch2 高阶导数（结构化计算）
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2-14
求曲线 y=x2y = x^2 在点 (1,1)(1,1) 处的切线方程
题库题号 2-14 ｜ 应用 ｜ Ch2 切线与法线
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2-15
求 f(x)=x3−3xf(x)=x^3-3x 的单调区间，并求极值
题库题号 2-15 ｜ 综合 ｜ Ch2 单调性与极值（导数判别）
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2-16
求正数 x>0x>0 使 x+1xx + \dfrac{1}{x} 取最小值，并求最小值
题库题号 2-16 ｜ 应用 ｜ Ch2 最值问题（建模意识）
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2-17
说明：为什么对极限 lim⁡x→0∣x∣x\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{|x|}{x} 不能直接使用洛必达法则？
题库题号 2-17 ｜ 判断 ｜ Ch2 洛必达法则的边界条件
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2-18
用微分近似估计 9.04\sqrt{9.04}，并说明近似误差阶（只需写 O(⋅)O(\cdot) 量级）
题库题号 2-18 ｜ 分析 ｜ Ch2 微分近似的误差意识
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2-19
讨论函数 f(x)=x3−3x+af(x)=x^3-3x+a 的零点个数随参数 aa 的变化情况
题库题号 2-19 ｜ 综合 ｜ Ch2 导数与单调性（含参数）
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2-20
设 ff 可导，求 lim⁡h→0f(x+2h)−f(x−h)h\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+2h) - f(x-h)}{h}
题库题号 2-20 ｜ 计算 ｜ Ch2 导数定义型极限（思维训练）
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2-21
设 y=xxy = x^x，求 y′y'。
题库题号 2-21 ｜ 计算 ｜ Ch2 导数概念
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2-22
若 f(x)=x2ln⁡xf(x)=x^2\ln x，则 f′(x)=f'(x)= ____。
题库题号 2-22 ｜ 计算 ｜ Ch2 导数计算
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2-23
设 y=sin⁡3x+cos⁡3xy=\sin^3x+\cos^3x，用降次公式化简后求 nn 阶导数
题库题号 2-23 ｜ 计算 ｜ Ch2 高阶导数
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2-24
函数 f(x)=x3−3xf(x)=x^3-3x 在区间 [0,2][0,2] 上满足拉格朗日中值定理的 ξ\xi 值为______。
题库题号 2-24 ｜ 计算 ｜ Ch2 隐函数求导
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2-25
y=x3ln⁡xy=x^3\ln x，求微分 dydy
题库题号 2-25 ｜ 计算 ｜ Ch2 微分
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2-26
求曲线 {x=t2−2ty=t3−3t\begin{cases}x = t^2 - 2t \\ y = t^3 - 3t\end{cases} 在 t=1t=1 处的切线方程和法线方程。
题库题号 2-26 ｜ 计算 ｜ Ch2 参数方程求导
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2-27
求曲线y=x3y=x^{3}在x=1处的切线方程和法线方程。
题库题号 2-27 ｜ 计算 ｜ Ch2 导数概念
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2-28
求 y=xsin⁡xy=x^{\sin x} 的导数
题库题号 2-28 ｜ 计算 ｜ Ch2 导数计算
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2-29
设 y=arctan⁡xy = \arctan x，证明 y(n)(0)y^{(n)}(0) 是整数，并求 y(5)(0)y^{(5)}(0)。
题库题号 2-29 ｜ 证明 ｜ Ch2 高阶导数
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2-30
设y=x3sin⁡2xy=x^{3}\sin 2x，用莱布尼茨公式求y^(10)(0)。
题库题号 2-30 ｜ 判断 ｜ Ch2 隐函数求导
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2-31
参数方程 {x=t2y=t3\begin{cases} x=t^2 \\ y=t^3 \end{cases}，求 dydx\frac{dy}{dx} 和 d2ydx2\frac{d^2y}{dx^2}。
题库题号 2-31 ｜ 计算 ｜ Ch2 导数计算
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2-32
曲线 {x=t2+2ty=ln⁡(1+t)\begin{cases}x=t^2+2t\\y=\ln(1+t)\end{cases} 在 t=1t=1 处的切线方程
题库题号 2-32 ｜ 计算 ｜ Ch2 隐函数求导
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2-33
曲线 {x=t2+1y=t3−3t\begin{cases} x=t^2+1 \\ y=t^3-3t \end{cases} 在 t=1t=1 处的切线斜率为
题库题号 2-33 ｜ 判断 ｜ Ch2 导数计算
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2-34
设曲线由参数方程{x=t−sin⁡ty=1−cos⁡t\begin{cases}x=t-\sin t\\ y=1-\cos t\end{cases}给出，求曲线在t=π/2t=\pi/2处的切线方程。
题库题号 2-34 ｜ 计算 ｜ Ch2 高阶导数
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2-35
曲线{x=t2+2y=t3−3t\begin{cases}x=t^2+2\\y=t^3-3t\end{cases}在t=1对应点处的切线斜率为____。
题库题号 2-35 ｜ 判断 ｜ Ch2 高阶导数
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2-36
求曲线 {x=t2y=t3\begin{cases} x = t^2 \\ y = t^3 \end{cases} 在 t=1t=1 处的切线方程。
题库题号 2-36 ｜ 计算 ｜ Ch2 导数计算
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2-37
设 {x=cos⁡ty=sin⁡t\begin{cases} x = \cos t \\ y = \sin t \end{cases}，求 d2ydx2\frac{d^2y}{dx^2}。
题库题号 2-37 ｜ 计算 ｜ Ch2 参数方程求导
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2-38
设 {x=t2y=t3\begin{cases} x = t^2 \\ y = t^3 \end{cases}，求 d2ydx2\frac{d^2y}{dx^2} 在 t=1t=1 处的值。
题库题号 2-38 ｜ 计算 ｜ Ch2 参数方程求导
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2-39
设 {x=etcos⁡ty=etsin⁡t\begin{cases} x = e^t\cos t \\ y = e^t\sin t \end{cases}，求 dydx\frac{dy}{dx}。
题库题号 2-39 ｜ 计算 ｜ Ch2 导数计算
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2-40
设 {x=ety=t2\begin{cases} x = e^t \\ y = t^2 \end{cases}，求 d2ydx2\frac{d^2y}{dx^2}。
题库题号 2-40 ｜ 计算 ｜ Ch2 导数计算
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2-41
设 {x=t2+ty=t3−1\begin{cases} x = t^2 + t \\ y = t^3 - 1 \end{cases}，求 d2ydx2\frac{d^2y}{dx^2} 在 t=1t=1 处的值。
题库题号 2-41 ｜ 计算 ｜ Ch2 参数方程求导
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2-42
设 {x=ln⁡(1+t2)y=t−arctan⁡t\begin{cases} x = \ln(1+t^2) \\ y = t - \arctan t \end{cases}，求 dydx\frac{dy}{dx} 与 d2ydx2\frac{d^2y}{dx^2}。
题库题号 2-42 ｜ 计算 ｜ Ch2 参数方程求导
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2-43
设曲线由参数方程 {x=1−t2y=t−t3\begin{cases} x = 1 - t^2 \\ y = t - t^3 \end{cases} 给出，求该曲线在 t=1t = 1 对应点处的切线斜率。
题库题号 2-43 ｜ 计算 ｜ Ch2 参数方程求导
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2-44
设曲线由参数方程 {x=t3+1y=t2−t\begin{cases} x = t^3 + 1 \\ y = t^2 - t \end{cases} 给出，求该曲线在 t=1t = 1 对应点处的切线斜率。
题库题号 2-44 ｜ 计算 ｜ Ch2 参数方程求导
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2-45
设曲线由参数方程 {x=t2y=ln⁡t\begin{cases} x = t^2 \\ y = \ln t \end{cases} 给出，求 d2ydx2\dfrac{d^2y}{dx^2} 在 t=1t = 1 处的值。
题库题号 2-45 ｜ 计算 ｜ Ch2 参数方程求导
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2-46
设 {x=t2y=t3\begin{cases}x=t^2\\y=t^3\end{cases}，求 dydx\frac{dy}{dx}。
题库题号 2-46 ｜ 计算 ｜ Ch2 参数方程求导
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2-47
设 {x=cos⁡ty=sin⁡t\begin{cases}x=\cos t\\y=\sin t\end{cases}，则 dydx\frac{dy}{dx} 在 t=π4t=\frac{\pi}{4} 处的值为 \_\_\_\_。
题库题号 2-47 ｜ 计算 ｜ Ch2 参数方程求导
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