题 干
将 $f(x)=\arctan x$ 展开成 $x$ 的幂级数，并求 $\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2n+1}=\frac\pi4$。
图一还原图先把「有什么」摆出来
教师点题：$f'(x)=\frac1{1+x^2}=\sum(-1)^n x^{2n}$。
学生写出导数展开，再逐项积分。
图二过程图标准解答逐步（题库真题自带）
标准解答（题库真题自带，逐步可核验）
- L4分析：$f'(x)=\frac1{1+x^2}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^nx^{2n}$，逐项积分得展开式。代入 $x=1$ 得 $\sum\frac{(-1)^n}{2n+1}=\frac\pi4$。
- 思路：利用 $\arctan x$ 的导数展开再积分，这是间接展开法的典型应用。
教师强调：代端点 x=1 需端点处收敛。
学生复算代点。
图三雷区图错在哪一步（真实数据接入位）
雷区数据接入位 本图用于把「最易错处」钉在图上的具体位置；错误率来自题库作答聚合（脱敏·按知识点「幂级数展开」）。
本知识点真实错误率：数据接入后显示（暂无则不显示，绝不编造）。
教师只点典型错误、不点名。
学生对照自查：这几个位置我有没有踩坑？
图四认知层级图本题落在 Bloom 哪一层
教师据此定课堂标高：只到「应用」的题，不拔到「评价」。
学生知道要练到哪一层：会算 ≠ 会用。
🎯 同型题 · 同考场（Ch7 幂级数展开 · 题库真题 33 道，取 4 道 · 可溯源 id，非本题改编）
函数 $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$ 在 $x=0$ 处展开为幂级数，求 $f^{(10)}(0)$。
看答案
$0$
将 $\frac1{1+x}$ 展开为 $x$ 的幂级数
看答案
$\sum_{n=0}^\infty(-1)^nx^n$，$|x|<1$
将函数 $f(x)=\frac{1}{1-x}$ 展开成 $x$ 的幂级数。
看答案
$\sum_{n=0}^\infty x^n,\;|x|<1$
将 $f(x)=\sin x$ 展开成 $x$ 的幂级数（麦克劳林级数）。
看答案
$\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}$
做法同源：识别特征 → 判别方法 → 验算。答案可折叠，先自己做再看；错误率来自训练记录（样本不足则留白，绝不编造）。