题 干
判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^2}$ 的敛散性。
图一还原图先把「有什么」摆出来
教师点题：n 次方出现在指数上 ⇒ 优先根值法。
学生写出 aₙ 并取 n 次根 $\sqrt[n]{a_n}$。
图二过程图标准解答逐步（题库真题自带）
标准解答（题库真题自带，逐步可核验）
- 用根值审敛法：$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n\to\infty} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{1}{n+1}\right)^n = e^{-1} < 1$。
- 故级数收敛。
教师强调：$(1-\frac{1}{n+1})^n\to e^{-1}$。
学生复算根值极限。
图三雷区图错在哪一步（真实数据接入位）
雷区数据接入位 本图用于把「最易错处」钉在图上的具体位置；错误率来自题库作答聚合（脱敏·按知识点「数项级数审敛」）。
本知识点真实错误率：数据接入后显示（暂无则不显示，绝不编造）。
教师只点典型错误、不点名。
学生对照自查：这几个位置我有没有踩坑？
图四认知层级图本题落在 Bloom 哪一层
教师据此定课堂标高：只到「应用」的题，不拔到「评价」。
学生知道要练到哪一层：会算 ≠ 会用。
🎯 同型题 · 同考场（Ch7 数项级数审敛 · 题库真题 21 道，取 3 道 · 可溯源 id，非本题改编）
用比值审敛法判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4^{n}}{n!}$ 的敛散性。
看答案
收敛。$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{4}{n+1}=0<1$，由比值审敛法知级数收敛。
求无穷级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)(n+2)}$ 的和。
看答案
$\frac{1}{4}$
求 $\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}$ 的和。
看答案
$\frac{\pi^2}{12}$
做法同源：识别特征 → 判别方法 → 验算。答案可折叠，先自己做再看；错误率来自训练记录（样本不足则留白，绝不编造）。