题 干
判断 $\sum_{n=1}^\infty\frac{n!}{n^n}$ 收敛性
图一还原图先把「有什么」摆出来
教师点题：见阶乘与幂的商，先想比值法（相邻两项作比）。
学生写出 aₙ 与 aₙ₊₁，准备作比 aₙ₊₁/aₙ。
图二过程图标准解答逐步（题库真题自带）
标准解答（题库真题自带，逐步可核验）
- 比值法：$\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim\frac{n^n}{(n+1)^n}=e^{-1}<1$
教师强调：$(1+\tfrac1n)^n\to e$ 是这类题的枢纽。
学生复算比值极限，核对「<1 ⇒ 收敛」的判定方向。
图三雷区图错在哪一步（真实数据接入位）
雷区数据接入位 本图用于把「最易错处」钉在图上的具体位置；错误率来自题库作答聚合（脱敏·按知识点「数项级数审敛」）。
本知识点真实错误率：数据接入后显示（暂无则不显示，绝不编造）。
教师只点典型错误、不点名。
学生对照自查：这几个位置我有没有踩坑？
图四认知层级图本题落在 Bloom 哪一层
教师据此定课堂标高：只到「应用」的题，不拔到「评价」。
学生知道要练到哪一层：会算 ≠ 会用。
🎯 同型题 · 同考场（Ch7 数项级数审敛 · 题库真题 21 道，取 3 道 · 可溯源 id，非本题改编）
用比值审敛法判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{10^{n}}$ 的敛散性。
看答案
发散
用比值审敛法判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}}{n!}$ 的敛散性。
看答案
收敛
用比值审敛法判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n}}{n^{2}}$ 的敛散性。
看答案
发散
做法同源：识别特征 → 判别方法 → 验算。答案可折叠，先自己做再看；错误率来自训练记录（样本不足则留白，绝不编造）。