题 干
证明函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n^2}$ 在 $[-1,1]$ 上一致收敛。
图一还原图先把「有什么」摆出来
教师点题：Weierstrass M-判别法。
学生注意 [−1,1] 上 |xⁿ| ≤ 1。
图二过程图标准解答逐步（题库真题自带）
标准解答（题库真题自带，逐步可核验）
- 在 $[-1,1]$ 上，$|x|\leq1$，故 $\left|\frac{x^n}{n^2}\right| \leq \frac{1}{n^2}$。
- 取 $M_n = \frac{1}{n^2}$，则 $\sum M_n = \sum\frac{1}{n^2}$ 是 $p$-级数（$p=2>1$），收敛。
- 由 Weierstrass M-判别法，$\sum\frac{x^n}{n^2}$ 在 $[-1,1]$ 上一致收敛。
教师强调 Mₙ 必须与 x 无关。
学生复述 M-判别法三要件。
图三雷区图错在哪一步（真实数据接入位）
雷区数据接入位 本图用于把「最易错处」钉在图上的具体位置；错误率来自题库作答聚合（脱敏·按知识点「函数项级数」）。
本知识点真实错误率：数据接入后显示（暂无则不显示，绝不编造）。
教师只点典型错误、不点名。
学生对照自查：这几个位置我有没有踩坑？
图四认知层级图本题落在 Bloom 哪一层
教师据此定课堂标高：只到「应用」的题，不拔到「评价」。
学生知道要练到哪一层：会算 ≠ 会用。
🎯 同型题 · 同考场（Ch7 函数项级数 · 题库真题 11 道，取 3 道 · 可溯源 id，非本题改编）
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}$ 在 $|x|<1$ 内的和函数。
看答案
$\dfrac{1}{(1-x)^2}$
求函数项级数 $\sum_{n=0}^{\infty}x^n$ 的收敛域。
看答案
$|x|<1$，即 $(-1,1)$
幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}$ 的收敛域为 \_\_\_\_。
看答案
$[-1,1)$
做法同源：识别特征 → 判别方法 → 验算。答案可折叠，先自己做再看；错误率来自训练记录（样本不足则留白，绝不编造）。