🦞 定积AI · 图说高数 · 第11章 无穷级数

无穷级数 · 判断级数 $\sum_{n=1}^\infty\frac{(

考研难度进阶 · 2/6
第11章 无穷级数 ｜ 题库题号 12-29（可溯源）｜ 增强版：强交互 · 沉浸式 · 工程思维 · 考研难度 ｜ 师生双视图同源
载体：自绘 SVG · 增强版·零外链·数据不出本地
教师视图学生视图
题 干
判断级数 ∑n=1∞(n!)2(2n)!\sum_{n=1}^\infty\frac{(n!)^2}{(2n)!} 的收敛性。
  1. A收敛（绝对收敛）
  2. B发散
  3. C条件收敛
  4. D无法判断
还原图部分和动画图（可播放）过程图雷区图认知层级图
图一还原图先把「有什么」摆出来
已 知aₙ = (n!)²/(2n)!所 求判收敛性
A. 收敛（绝对收敛）
B. 发散
C. 条件收敛
D. 无法判断
缺口需架桥
含阶乘的通项，比值法最合适。
教师点题：阶乘型 ⇒ 比值法。
学生写出 an+1/ana_{n+1}/a_n。
图·部分和动画图（可播放）交互
点「播放」：部分和 Sₙ 逐项累加，看它是否稳定下来nS（部分和上限）
点「播放」：部分和 Sₙ 逐个累加，看它是否稳定。
教师：边播放边问「Sₙ 有没有上限」。
体会「收敛=部分和稳定」。
图二过程图标准解答逐步（题库真题自带）
标准解答（题库真题自带，逐步可核验）
  1. L4分析：用比值法。
  2. lim⁡an+1an=lim⁡[(n+1)!]2/(2n+2)!(n!)2/(2n)!=lim⁡(n+1)2(2n+2)(2n+1)=14<1\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim\frac{[(n+1)!]^2/(2n+2)!}{(n!)^2/(2n)!}=\lim\frac{(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)}=\frac14<1，绝对收敛。
标准解答（题库真题自带）：lim⁡an+1an=(n+1)2(2n+2)(2n+1)=14<1\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)}=\frac14<1 ⇒ 绝对收敛（题库答案 A）。
教师强调分母是两个相邻因子之积。
学生复算极限。
图三雷区图错在哪一步（真实数据接入位）
雷区数据接入位　本图用于把「最易错处」钉在图上的具体位置；错误率来自题库作答聚合（脱敏·按知识点「数项级数审敛」）。
本知识点真实错误率：数据接入后显示（暂无则不显示，绝不编造）。
雷区图把「最容易错的地方」钉在具体位置；错误率数据接入后显示。
教师只点典型错误、不点名。
学生对照自查：这几个位置我有没有踩坑？
图四认知层级图本题落在 Bloom 哪一层
认知层级（Bloom）：本题在主序列中的位置记忆理解应用●分析评价创造绿=本题涉及；灰=本题不涉及（层级递进，但不要求每题都到顶）
本题涉及的认知层级（绿）——级别递进，但不要求每题都到顶。
教师据此定课堂标高：只到「应用」的题，不拔到「评价」。
学生知道要练到哪一层：会算 ≠ 会用。
🎯 同型题 · 同考场（Ch7 数项级数审敛 · 题库真题 21 道，取 3 道 · 可溯源 id，非本题改编）
设正项级数 ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_n 收敛，且 lim⁡n→∞anbn=1\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = 1。证明：∑n=1∞anbn\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{a_n b_n} 收敛。
#HC07数项级数审敛-004 ｜ proof ｜ 挑战
看答案
证明见解析
利用积分审敛法证明：∑n=2∞1n(ln⁡n)p\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(\ln n)^p} 当 p>1p>1 时收敛，当 p≤1p\le 1 时发散。
#HC07数项级数审敛-005 ｜ proof ｜ 挑战
看答案
证明见解析
设 ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_n 是任意项级数，且 lim⁡n→∞∣an∣n=l\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} = l。证明： (1) 若 l<1l<1，则 ∑an\sum a_n 绝对收敛； (2) 若 l>1l>1，则 ∑an\sum a_n 发散； (3) 若 l=1l=1，则 ∑an\sum a_n 可能收敛也可能发散（举例说明）。
#HC07数项级数审敛-006 ｜ proof ｜ 挑战
看答案
证明见解析
做法同源：识别特征 → 判别方法 → 验算。答案可折叠，先自己做再看；错误率来自训练记录（样本不足则留白，绝不编造）。
🔧 工程视角 · 学以致用（题库真题 #HC0776-024 ｜ 无穷级数）
工程问题→数学建模→级数工具→工程结论
信号每经过一级中继站强度衰减为原来的 23\dfrac23。求各级剩余强度之和与初始强度的比值（∑n=1∞23n\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{2}{3^n}）。
看工程结论
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把「无穷级数」落到一个真实工程/金融场景——这就是「学以致用」。
🎯 小试一刀 · 先想再对
判断级数 ∑n=1∞(n!)2(2n)!\sum_{n=1}^\infty\frac{(n!)^2}{(2n)!} 的收敛性。
💡 比值法
🎯 从会做 → 会迁移解题能力 · 只增不改
🔁 举一反三 · 同型变式回练
以下为本题的同型题（题库真源 · 可溯源）——先自己做，再展开答案：
  1. 将 f(x)=xf(x)=x 在 (−π,π)(-\pi,\pi) 上展开成傅里叶级数，并求 ∑(−1)n+1n=ln⁡2\sum\frac{(-1)^{n+1}}{n}=\ln2。
    看答案对一对
    2∑(−1)n+1nsin⁡nx2\sum\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin nx
    题库 12-11 · 数项级数审敛
  2. 求幂级数 ∑n=1∞xnn⋅2n\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n\cdot2^n} 的和函数。
    看答案对一对
    −ln⁡(1−x2)-\ln(1-\frac{x}{2})
    题库 12-17 · 数项级数审敛
  3. 将 f(x)=arctan⁡xf(x)=\arctan x 展开成 xx 的幂级数，并求 ∑n=0∞(−1)n2n+1=π4\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2n+1}=\frac\pi4。
    看答案对一对
    arctan⁡x=∑n=0∞(−1)n2n+1x2n+1\arctan x=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}
    题库 12-23 · 数项级数审敛
📈 考研真题角 · 命题规律（本题库真题 · 可溯源 id · 每页 2 道）
将 f(x)=exf(x)=e^{x} 展开为 xx 的幂级数
#12-4 ｜ 难度 6/6 ｜ 展开
看答案与命题人视角
e^x = ∑ x^n/n! = 1 + x + x²/2! + ...
命题人视角：级数章是「工具+综合」考点——判别法选择、收敛域端点、和函数构造常与微分方程/积分交叉命题。
设 f(x)=x(π−x)f(x)=x(\pi-x)，0≤x≤π0\le x\le\pi，将 f(x)f(x) 展开为以 2π2\pi 为周期的正弦级数，并利用该展开式求 ∑n=1∞1(2n−1)3\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^3} 的值。
#12-10 ｜ 难度 5/6 ｜ 证明
看答案与命题人视角
∑n=1∞1(2n−1)3=π332\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^3}=\frac{\pi^3}{32}
命题人视角：级数章是「工具+综合」考点——判别法选择、收敛域端点、和函数构造常与微分方程/积分交叉命题。