🦞 定积AI · 图说高数 · 第11章 无穷级数

无穷级数 · 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{

考研难度基础 · 1/6
第11章 无穷级数 ｜ 题库题号 12-25（可溯源）｜ 增强版：强交互 · 沉浸式 · 工程思维 · 考研难度 ｜ 师生双视图同源
载体：自绘 SVG · 增强版·零外链·数据不出本地
教师视图学生视图
题 干
级数 ∑n=1∞1np\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} 收敛的条件是（ ）
  1. Ap>0p>0
  2. Bp≥1p\ge1
  3. Cp>1p>1
  4. D对一切 pp 都收敛
还原图部分和动画图（可播放）过程图雷区图认知层级图
图一还原图先把「有什么」摆出来
已 知p-级数 ∑ 1/nᵖp 为常数所 求收敛 ⇔ p 满足？
A. $p>0$
B. $p\ge1$
C. $p>1$
D. 对一切 $p$ 都收敛
缺口需架桥
p-级数的收敛判据：记住结论即可（本题为选择题）。
教师点题：∑1/np\sum 1/n^p 收敛 ⇔ p>1p>1。
学生回忆 p-级数结论。
图·部分和动画图（可播放）交互
点「播放」：部分和 Sₙ 逐项累加，看它是否稳定下来nS（部分和上限）
点「播放」：部分和 Sₙ 逐个累加，看它是否稳定。
教师：边播放边问「Sₙ 有没有上限」。
体会「收敛=部分和稳定」。
图二过程图标准解答逐步（题库真题自带）
标准解答（题库真题自带，逐步可核验）
  1. pp-级数 ∑1np\sum \frac{1}{n^p} 收敛当且仅当 p>1p>1。
标准解答（题库真题自带）：∑n=1∞1np\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^p} 收敛 ⇔ p>1p>1（题库答案 C）。
教师强调 p=1（调和级数）发散作分界。
学生记牢 p>1p>1。
图三雷区图错在哪一步（真实数据接入位）
雷区数据接入位　本图用于把「最易错处」钉在图上的具体位置；错误率来自题库作答聚合（脱敏·按知识点「常数项级数」）。
本知识点真实错误率：数据接入后显示（暂无则不显示，绝不编造）。
雷区图把「最容易错的地方」钉在具体位置；错误率数据接入后显示。
教师只点典型错误、不点名。
学生对照自查：这几个位置我有没有踩坑？
图四认知层级图本题落在 Bloom 哪一层
认知层级（Bloom）：本题在主序列中的位置记忆●理解应用分析评价创造绿=本题涉及；灰=本题不涉及（层级递进，但不要求每题都到顶）
本题涉及的认知层级（绿）——级别递进，但不要求每题都到顶。
教师据此定课堂标高：只到「应用」的题，不拔到「评价」。
学生知道要练到哪一层：会算 ≠ 会用。
🎯 同型题 · 同考场（Ch7 常数项级数 · 题库真题 195 道，取 4 道 · 可溯源 id，非本题改编）
判断 ∑n=1∞n!nn\sum_{n=1}^\infty\frac{n!}{n^n} 收敛性
#HC0771-002a ｜ fill ｜ 进阶
看答案
收敛
判断：∑n=1∞1n(ln⁡n)2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(\ln n)^2} 收敛。（ ）
#HC0771-005 ｜ judgment ｜ 进阶
看答案
正确
已知 ∑an\sum a_n 收敛，an>0a_n>0，则下列级数中必收敛的是（ ）
#HC0771-006 ｜ choice ｜ 进阶
看答案
A
设 an=1na_n=\frac{1}{\sqrt{n}}，bn=1nb_n=\frac{1}{n}，cn=1n2c_n=\frac{1}{n^2}，则 ∑an\sum a_n、∑bn\sum b_n、∑cn\sum c_n 的敛散性分别为（ ）
#HC0771-007 ｜ choice ｜ 进阶
看答案
A
做法同源：识别特征 → 判别方法 → 验算。答案可折叠，先自己做再看；错误率来自训练记录（样本不足则留白，绝不编造）。
🔧 工程视角 · 学以致用（题库真题 #HC0776-024 ｜ 无穷级数）
工程问题→数学建模→级数工具→工程结论
信号每经过一级中继站强度衰减为原来的 23\dfrac23。求各级剩余强度之和与初始强度的比值（∑n=1∞23n\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{2}{3^n}）。
看工程结论
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把「无穷级数」落到一个真实工程/金融场景——这就是「学以致用」。
🎯 小试一刀 · 先想再对
级数 ∑n=1∞1np\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} 收敛的条件是（ ）
💡 回忆 pp-级数的结论。
🎯 从会做 → 会迁移解题能力 · 只增不改
🔁 举一反三 · 同型变式回练
以下为本题的同型题（题库真源 · 可溯源）——先自己做，再展开答案：
  1. 判断 ∑n=1∞1n2+1\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2+1} 收敛性
    看答案对一对
    收敛
    题库 12-7 · 常数项级数
  2. 判断 ∑n=1∞n!nn\sum_{n=1}^\infty\frac{n!}{n^n} 收敛性
    看答案对一对
    收敛
    题库 12-13 · 常数项级数
  3. 判断级数 ∑n=1∞(nn+1)n2\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^2} 的敛散性。
    看答案对一对
    收敛
    题库 12-19 · 常数项级数
📈 考研真题角 · 命题规律（本题库真题 · 可溯源 id · 每页 2 道）
将 f(x)=exf(x)=e^{x} 展开为 xx 的幂级数
#12-4 ｜ 难度 6/6 ｜ 展开
看答案与命题人视角
e^x = ∑ x^n/n! = 1 + x + x²/2! + ...
命题人视角：级数章是「工具+综合」考点——判别法选择、收敛域端点、和函数构造常与微分方程/积分交叉命题。
设 f(x)=x(π−x)f(x)=x(\pi-x)，0≤x≤π0\le x\le\pi，将 f(x)f(x) 展开为以 2π2\pi 为周期的正弦级数，并利用该展开式求 ∑n=1∞1(2n−1)3\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^3} 的值。
#12-10 ｜ 难度 5/6 ｜ 证明
看答案与命题人视角
∑n=1∞1(2n−1)3=π332\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^3}=\frac{\pi^3}{32}
命题人视角：级数章是「工具+综合」考点——判别法选择、收敛域端点、和函数构造常与微分方程/积分交叉命题。