🦞 定积AI · 图说高数 · 第11章 无穷级数

无穷级数 · 求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \fra

考研难度基础 · 1/6
第11章 无穷级数 ｜ 题库题号 12-20（可溯源）｜ 增强版：强交互 · 沉浸式 · 工程思维 · 考研难度 ｜ 师生双视图同源
载体：自绘 SVG · 增强版·零外链·数据不出本地
教师视图学生视图
题 干
求幂级数 ∑n=1∞(−1)nx2nn\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{n} 的收敛半径和收敛域。
还原图收敛半径图（可拖动）过程图雷区图认知层级图
图一还原图先把「有什么」摆出来
已 知幂级数 ∑ (−1)ⁿ x²ⁿ/n所 求求收敛半径 R求收敛域缺口需架桥
只有偶次项（x²ⁿ）——缺项幂级数，先换元 t=x² 再套公式。
教师点题：令 t=x²，化为标准幂级数再求半径。
学生换元后求 t 的半径 R_t=1。
图·收敛半径图（可拖动）交互
拖动滑块调 x：|x|<1 时 xⁿ 压向 0（收敛），|x|>1 时发散x = 0.60 ｜ |x| < 1 → 收敛
拖动滑块调 x：|x|<1 时 xⁿ 压向 0（收敛），|x|>1 时发散。
教师：边拖边讲「收敛域由 |x|
自己拖一拖，看什么时候发散。
图二过程图标准解答逐步（题库真题自带）
标准解答（题库真题自带，逐步可核验）
  1. 令 t=x2t=x^2，级数 ∑n=1∞(−1)nntn\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} t^n，收敛半径 Rt=1R_t=1，所以 x2<1x^2<1 即 ∣x∣<1|x|<1，Rx=1R_x=1。
  2. 端点：x=1x=1 得 ∑(−1)nn\sum \frac{(-1)^n}{n} 收敛；x=−1x=-1 同，故收敛域 [−1,1][-1,1]。
标准解答（题库真题自带）：∣x∣<1⇒R=1|x|<1\Rightarrow R=1；端点 x=±1 得交错调和级数，收敛 ⇒ [−1,1][-1,1]。
教师强调：换元后端点要回代到 x 上判。
学生核对两端点。
图三雷区图错在哪一步（真实数据接入位）
雷区数据接入位　本图用于把「最易错处」钉在图上的具体位置；错误率来自题库作答聚合（脱敏·按知识点「幂级数」）。
本知识点真实错误率：数据接入后显示（暂无则不显示，绝不编造）。
雷区图把「最容易错的地方」钉在具体位置；错误率数据接入后显示。
教师只点典型错误、不点名。
学生对照自查：这几个位置我有没有踩坑？
图四认知层级图本题落在 Bloom 哪一层
认知层级（Bloom）：本题在主序列中的位置记忆理解应用●分析评价创造绿=本题涉及；灰=本题不涉及（层级递进，但不要求每题都到顶）
本题涉及的认知层级（绿）——级别递进，但不要求每题都到顶。
教师据此定课堂标高：只到「应用」的题，不拔到「评价」。
学生知道要练到哪一层：会算 ≠ 会用。
🎯 同型题 · 同考场（Ch7 幂级数 · 题库真题 105 道，取 4 道 · 可溯源 id，非本题改编）
幂级数 ∑n=1∞xnn\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n} 的收敛半径为 ‾\underline{\hspace{2cm}}，收敛区间为 ‾\underline{\hspace{2cm}}。
#HC07幂级数-002 ｜ fill ｜ 进阶
看答案
R=1R=1，收敛区间 [−1,1)[-1,1)
幂级数 ∑n=0∞2nxn\sum_{n=0}^{\infty}2^n x^n 的收敛半径为 ‾\underline{\hspace{2cm}}。
#HC07幂级数-006 ｜ fill ｜ 进阶
看答案
12\frac{1}{2}
幂级数 ∑n=1∞xnn2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n^2} 的收敛半径为 ‾\underline{\hspace{2cm}}。
#HC07幂级数-016 ｜ fill ｜ 进阶
看答案
11
设幂级数 ∑n=1∞anxn\sum_{n=1}^{\infty}a_nx^n 在 x=−2x = -2 处收敛，在 x=3x = 3 处发散，则其收敛半径 RR 满足
#HC07幂级数-027 ｜ choice ｜ 进阶
看答案
B
做法同源：识别特征 → 判别方法 → 验算。答案可折叠，先自己做再看；错误率来自训练记录（样本不足则留白，绝不编造）。
🔧 工程视角 · 学以致用（题库真题 #HC0776-018 ｜ 无穷级数）
工程问题→数学建模→级数工具→工程结论
每年年末向账户存入 10001000 元，年利率 5%5\%（复利）。若按无限期年金计算，求该年金的现值（各笔存款折现到现在的总和）。
看工程结论
2000020000 元
把「无穷级数」落到一个真实工程/金融场景——这就是「学以致用」。
🎯 小试一刀 · 先想再对
求幂级数 ∑n=1∞(−1)nx2nn\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{n} 的收敛半径和收敛域。
你自己做到哪一步？（如实自评，用于生成你的复习路径）
💡 缺项幂级数用换元法
🎯 从会做 → 会迁移解题能力 · 只增不改
🔁 举一反三 · 同型变式回练
以下为本题的同型题（题库真源 · 可溯源）——先自己做，再展开答案：
  1. 将 f(x)=exf(x)=e^{x} 展开为 xx 的幂级数
    看答案对一对
    e^x = ∑ x^n/n! = 1 + x + x²/2! + ...
    题库 12-4 · 幂级数
  2. 将函数f(x)=1/(x2−3x+2)f(x)=1/(x^{2}-3x+2)展开为x的幂级数，并指出收敛域。
    看答案对一对
    ∑n=0∞(1−1/2n+1)xn\sum_{n=0}^{\infty} (1-1/2^{n+1})x^n，|x|<1
    题库 12-8 · 幂级数
  3. 求幂级数 ∑n=1∞xnn\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n} 的收敛域与和函数
    看答案对一对
    [−1,1)[-1,1)，−ln⁡(1−x)-\ln(1-x)
    题库 12-14 · 幂级数
📈 考研真题角 · 命题规律（本题库真题 · 可溯源 id · 每页 2 道）
将 f(x)=exf(x)=e^{x} 展开为 xx 的幂级数
#12-4 ｜ 难度 6/6 ｜ 展开
看答案与命题人视角
e^x = ∑ x^n/n! = 1 + x + x²/2! + ...
命题人视角：级数章是「工具+综合」考点——判别法选择、收敛域端点、和函数构造常与微分方程/积分交叉命题。
设 f(x)=x(π−x)f(x)=x(\pi-x)，0≤x≤π0\le x\le\pi，将 f(x)f(x) 展开为以 2π2\pi 为周期的正弦级数，并利用该展开式求 ∑n=1∞1(2n−1)3\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^3} 的值。
#12-10 ｜ 难度 5/6 ｜ 证明
看答案与命题人视角
∑n=1∞1(2n−1)3=π332\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^3}=\frac{\pi^3}{32}
命题人视角：级数章是「工具+综合」考点——判别法选择、收敛域端点、和函数构造常与微分方程/积分交叉命题。