🦞 定积AI · 图说高数 · 第11章 无穷级数

无穷级数 · 求幂级数 $\sum_{n=1}^\infty\frac{x

考研难度进阶 · 2/6
第11章 无穷级数 ｜ 题库题号 12-17（可溯源）｜ 增强版：强交互 · 沉浸式 · 工程思维 · 考研难度 ｜ 师生双视图同源
载体：自绘 SVG · 增强版·零外链·数据不出本地
教师视图学生视图
题 干
求幂级数 ∑n=1∞xnn⋅2n\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n\cdot2^n} 的和函数。
还原图收敛半径图（可拖动）过程图雷区图认知层级图
图一还原图先把「有什么」摆出来
已 知幂级数 ∑ xⁿ/(n·2ⁿ)n = 1,2,3,⋯所 求求和函数缺口需架桥
先做变量替换凑标准形，再求和函数。
教师点题：xn2n=(x2)n\frac{x^n}{2^n}=(\frac x2)^n，令 u=x/2。
学生写出通项变形，认出 ∑un/n\sum u^n/n。
图·收敛半径图（可拖动）交互
拖动滑块调 x：|x|<1 时 xⁿ 压向 0（收敛），|x|>1 时发散x = 0.60 ｜ |x| < 1 → 收敛
拖动滑块调 x：|x|<1 时 xⁿ 压向 0（收敛），|x|>1 时发散。
教师：边拖边讲「收敛域由 |x|
自己拖一拖，看什么时候发散。
图二过程图标准解答逐步（题库真题自带）
标准解答（题库真题自带，逐步可核验）
  1. L3应用：xnn⋅2n=(x/2)nn\frac{x^n}{n\cdot2^n}=\frac{(x/2)^n}{n}，∑(x/2)nn=−ln⁡(1−x2)\sum\frac{(x/2)^n}{n}=-\ln(1-\frac{x}{2})。
  2. S(x)=−ln⁡(1−x/2)S(x)=-\ln(1-x/2)，收敛域 [−2,2)[-2,2)。
标准解答（题库真题自带）：∑n=1∞unn=−ln⁡(1−u)\sum_{n=1}^{\infty}\frac{u^n}{n}=-\ln(1-u) ⇒ S(x)=−ln⁡(1−x2)S(x)=-\ln(1-\frac x2)。
教师强调收敛域随替换一起换算 ⇒ [−2,2)[-2,2)。
学生复算回代与收敛域端点。
图三雷区图错在哪一步（真实数据接入位）
雷区数据接入位　本图用于把「最易错处」钉在图上的具体位置；错误率来自题库作答聚合（脱敏·按知识点「幂级数」）。
本知识点真实错误率：数据接入后显示（暂无则不显示，绝不编造）。
雷区图把「最容易错的地方」钉在具体位置；错误率数据接入后显示。
教师只点典型错误、不点名。
学生对照自查：这几个位置我有没有踩坑？
图四认知层级图本题落在 Bloom 哪一层
认知层级（Bloom）：本题在主序列中的位置记忆理解应用●分析评价创造绿=本题涉及；灰=本题不涉及（层级递进，但不要求每题都到顶）
本题涉及的认知层级（绿）——级别递进，但不要求每题都到顶。
教师据此定课堂标高：只到「应用」的题，不拔到「评价」。
学生知道要练到哪一层：会算 ≠ 会用。
🎯 同型题 · 同考场（Ch7 幂级数 · 题库真题 105 道，取 4 道 · 可溯源 id，非本题改编）
幂级数在其收敛区间端点处一定发散。
#HC0773-021 ｜ judgment ｜ 进阶
看答案
错误
设函数f(x)在x=0处具有二阶导数，且f(0)=0，f'(0)=1，f''(0)=2。求极限lim⁡x→0[f(x)−x]/(x2)\lim_{x\to0} [f(x) - x] / (x^2)。
#HC0773-024 ｜ choice ｜ 进阶
看答案
B
将函数f(x)=1/(1-x)展开为x的幂级数，并指出收敛域。
#HC0773-025 ｜ calc ｜ 进阶
看答案
∑n=0∞xn\sum_{n=0}^{\infty} x^n，|x|<1
设a>0，考虑交错级数∑n=1∞(−1)n−11na\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}\frac{1}{n^a}，则下列结论正确的是（ ）
#HC0773-029 ｜ choice ｜ 进阶
看答案
B
做法同源：识别特征 → 判别方法 → 验算。答案可折叠，先自己做再看；错误率来自训练记录（样本不足则留白，绝不编造）。
🔧 工程视角 · 学以致用（题库真题 #HC0776-024 ｜ 无穷级数）
工程问题→数学建模→级数工具→工程结论
信号每经过一级中继站强度衰减为原来的 23\dfrac23。求各级剩余强度之和与初始强度的比值（∑n=1∞23n\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{2}{3^n}）。
看工程结论
11
把「无穷级数」落到一个真实工程/金融场景——这就是「学以致用」。
🎯 小试一刀 · 先想再对
求幂级数 ∑n=1∞xnn⋅2n\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n\cdot2^n} 的和函数。
你自己做到哪一步？（如实自评，用于生成你的复习路径）
💡 ∑xn/n=−ln⁡(1−x)\sum x^n/n=-\ln(1-x)
🎯 从会做 → 会迁移解题能力 · 只增不改
🔁 举一反三 · 同型变式回练
以下为本题的同型题（题库真源 · 可溯源）——先自己做，再展开答案：
  1. 将 f(x)=xf(x)=x 在 (−π,π)(-\pi,\pi) 上展开成傅里叶级数，并求 ∑(−1)n+1n=ln⁡2\sum\frac{(-1)^{n+1}}{n}=\ln2。
    看答案对一对
    2∑(−1)n+1nsin⁡nx2\sum\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin nx
    题库 12-11 · 数项级数审敛
  2. 将 f(x)=arctan⁡xf(x)=\arctan x 展开成 xx 的幂级数，并求 ∑n=0∞(−1)n2n+1=π4\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2n+1}=\frac\pi4。
    看答案对一对
    arctan⁡x=∑n=0∞(−1)n2n+1x2n+1\arctan x=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}
    题库 12-23 · 数项级数审敛
  3. 判断级数 ∑n=1∞(n!)2(2n)!\sum_{n=1}^\infty\frac{(n!)^2}{(2n)!} 的收敛性。
    看答案对一对
    A
    题库 12-29 · 数项级数审敛
📈 考研真题角 · 命题规律（本题库真题 · 可溯源 id · 每页 2 道）
将 f(x)=exf(x)=e^{x} 展开为 xx 的幂级数
#12-4 ｜ 难度 6/6 ｜ 展开
看答案与命题人视角
e^x = ∑ x^n/n! = 1 + x + x²/2! + ...
命题人视角：级数章是「工具+综合」考点——判别法选择、收敛域端点、和函数构造常与微分方程/积分交叉命题。
设 f(x)=x(π−x)f(x)=x(\pi-x)，0≤x≤π0\le x\le\pi，将 f(x)f(x) 展开为以 2π2\pi 为周期的正弦级数，并利用该展开式求 ∑n=1∞1(2n−1)3\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^3} 的值。
#12-10 ｜ 难度 5/6 ｜ 证明
看答案与命题人视角
∑n=1∞1(2n−1)3=π332\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^3}=\frac{\pi^3}{32}
命题人视角：级数章是「工具+综合」考点——判别法选择、收敛域端点、和函数构造常与微分方程/积分交叉命题。