🦞 定积AI · 图说高数 · 第11章 无穷级数

无穷级数 · 证明函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\f

考研难度挑战 · 5/6
第11章 无穷级数 ｜ 题库题号 12-12（可溯源）｜ 增强版：强交互 · 沉浸式 · 工程思维 · 考研难度 ｜ 师生双视图同源
载体：自绘 SVG · 增强版·零外链·数据不出本地
教师视图学生视图
题 干
证明函数项级数 ∑n=1∞xnn2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n^2} 在 [−1,1][-1,1] 上一致收敛。
还原图部分和动画图（可播放）过程图雷区图认知层级图
图一还原图先把「有什么」摆出来
已 知函数项级数 ∑ xⁿ/n²x ∈ [−1, 1]所 求证明一致收敛缺口需架桥
函数项级数一致收敛：找与 x 无关的优级数 Mₙ。
教师点题：Weierstrass M-判别法。
学生注意 [−1,1] 上 |xⁿ| ≤ 1。
图·部分和动画图（可播放）交互
点「播放」：部分和 Sₙ 逐项累加，看它是否稳定下来nS（部分和上限）
点「播放」：部分和 Sₙ 逐个累加，看它是否稳定。
教师：边播放边问「Sₙ 有没有上限」。
体会「收敛=部分和稳定」。
图二过程图标准解答逐步（题库真题自带）
标准解答（题库真题自带，逐步可核验）
  1. 在 [−1,1][-1,1] 上，∣x∣≤1|x|\leq1，故 ∣xnn2∣≤1n2\left|\frac{x^n}{n^2}\right| \leq \frac{1}{n^2}。
  2. 取 Mn=1n2M_n = \frac{1}{n^2}，则 ∑Mn=∑1n2\sum M_n = \sum\frac{1}{n^2} 是 pp-级数（p=2>1p=2>1），收敛。
  3. 由 Weierstrass M-判别法，∑xnn2\sum\frac{x^n}{n^2} 在 [−1,1][-1,1] 上一致收敛。
标准解答：取 Mₙ=1/n²，∑Mₙ 收敛，故一致收敛。
教师强调 Mₙ 必须与 x 无关。
学生复述 M-判别法三要件。
图三雷区图错在哪一步（真实数据接入位）
雷区数据接入位　本图用于把「最易错处」钉在图上的具体位置；错误率来自题库作答聚合（脱敏·按知识点「函数项级数」）。
本知识点真实错误率：数据接入后显示（暂无则不显示，绝不编造）。
雷区图把「最容易错的地方」钉在具体位置；错误率数据接入后显示。
教师只点典型错误、不点名。
学生对照自查：这几个位置我有没有踩坑？
图四认知层级图本题落在 Bloom 哪一层
认知层级（Bloom）：本题在主序列中的位置记忆理解应用分析评价创造●绿=本题涉及；灰=本题不涉及（层级递进，但不要求每题都到顶）
本题涉及的认知层级（绿）——级别递进，但不要求每题都到顶。
教师据此定课堂标高：只到「应用」的题，不拔到「评价」。
学生知道要练到哪一层：会算 ≠ 会用。
🎯 同型题 · 同考场（Ch7 函数项级数 · 题库真题 11 道，取 3 道 · 可溯源 id，非本题改编）
求幂级数 ∑n=1∞nxn−1\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} 在 ∣x∣<1|x|<1 内的和函数。
#HC07函数项级数-103 ｜ calc ｜ 提高
看答案
1(1−x)2\dfrac{1}{(1-x)^2}
求函数项级数 ∑n=0∞xn\sum_{n=0}^{\infty}x^n 的收敛域。
#HC07函数项级数-003 ｜ calc ｜ 基础
看答案
∣x∣<1|x|<1，即 (−1,1)(-1,1)
幂级数 ∑n=1∞xnn\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n} 的收敛域为 \_\_\_\_。
#HC07函数项级数-004 ｜ fill ｜ 基础
看答案
[−1,1)[-1,1)
做法同源：识别特征 → 判别方法 → 验算。答案可折叠，先自己做再看；错误率来自训练记录（样本不足则留白，绝不编造）。
🔧 工程视角 · 学以致用（题库真题 #HC0776-018 ｜ 无穷级数）
工程问题→数学建模→级数工具→工程结论
每年年末向账户存入 10001000 元，年利率 5%5\%（复利）。若按无限期年金计算，求该年金的现值（各笔存款折现到现在的总和）。
看工程结论
2000020000 元
把「无穷级数」落到一个真实工程/金融场景——这就是「学以致用」。
🎯 小试一刀 · 先想再对
证明函数项级数 ∑n=1∞xnn2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n^2} 在 [−1,1][-1,1] 上一致收敛。
你自己做到哪一步？（如实自评，用于生成你的复习路径）
💡 找与 xx 无关的优级数 MnM_n
🎯 从会做 → 会迁移解题能力 · 只增不改
🔁 举一反三 · 同型变式回练
以下为本题的同型题（题库真源 · 可溯源）——先自己做，再展开答案：
  1. 判断：若函数项级数 ∑un(x)\sum u_n(x) 在区间 II 上一致收敛，则它在 II 上必逐点收敛。
    看答案对一对
    正确
    题库 12-18 · 函数项级数
  2. 求函数项级数 ∑n=0∞xn\sum_{n=0}^{\infty}x^n 的收敛域。
    看答案对一对
    ∣x∣<1|x|<1，即 (−1,1)(-1,1)
    题库 12-24 · 函数项级数
  3. 幂级数 ∑n=1∞xnn\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n} 的收敛域为 \_\_\_\_。
    看答案对一对
    [−1,1)[-1,1)
    题库 12-30 · 函数项级数
📈 考研真题角 · 命题规律（本题库真题 · 可溯源 id · 每页 2 道）
将 f(x)=exf(x)=e^{x} 展开为 xx 的幂级数
#12-4 ｜ 难度 6/6 ｜ 展开
看答案与命题人视角
e^x = ∑ x^n/n! = 1 + x + x²/2! + ...
命题人视角：级数章是「工具+综合」考点——判别法选择、收敛域端点、和函数构造常与微分方程/积分交叉命题。
设 f(x)=x(π−x)f(x)=x(\pi-x)，0≤x≤π0\le x\le\pi，将 f(x)f(x) 展开为以 2π2\pi 为周期的正弦级数，并利用该展开式求 ∑n=1∞1(2n−1)3\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^3} 的值。
#12-10 ｜ 难度 5/6 ｜ 证明
看答案与命题人视角
∑n=1∞1(2n−1)3=π332\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^3}=\frac{\pi^3}{32}
命题人视角：级数章是「工具+综合」考点——判别法选择、收敛域端点、和函数构造常与微分方程/积分交叉命题。