🦞 定积AI · 图说高数 · 第11章 无穷级数

无穷级数 · 判断级数 ∑n=1∞1n(n+1)\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n(n+1)} 是否收敛

考研难度掌握 · 3/6
第11章 无穷级数 ｜ 题库题号 12-1（可溯源）｜ 增强版：强交互 · 沉浸式 · 工程思维 · 考研难度 ｜ 师生双视图同源
载体：自绘 SVG · 增强版·零外链·数据不出本地
教师视图学生视图
题 干
判断级数 ∑n=1∞1n(n+1)\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n(n+1)} 是否收敛
还原图部分和动画图（可播放）分解图过程图路径图雷区图认知层级图方法矩阵
图一还原图先把「有什么」摆出来
已 知aₙ = 1/[n(n+1)]正项级数n = 1,2,3,⋯所 求① 判敛散② 若收敛，求和缺口需架桥
题干给的是一个具体的正项级数：通项已知，问敛散与和。
教师只读题：通项是 1 除以「相邻两整数之积」，暗示裂项。
学生圈出通项结构，写下第一句猜想：能不能拆成两项之差？
图·部分和动画图（可播放）交互
点「播放」：部分和 Sₙ 逐项累加，看它是否稳定下来nS（部分和上限）
点「播放」：部分和 Sₙ 逐个累加，看它是否稳定。
教师：边播放边问「Sₙ 有没有上限」。
体会「收敛=部分和稳定」。
图二分解图部分和怎么算出来的
分解链：每一步都可核验aₙ = 1/[n(n+1)]拆成 1/n - 1/(n+1)Sₙ = ∑(1/k - 1/(k+1))中间项两两相消相消后只剩首尾Sₙ = 1 - 1/(n+1)n→∞ 取极限Sₙ → 1（有限）部分和收敛级数收敛，和为 1
裂项相消：1n(n+1)=1n−1n+1\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac1n-\dfrac1{n+1}，累加后中间项两两相消，只剩首尾。
教师先在黑板上写前 3 项，让学生看见 −1/2 与 +1/2 如何抵消。
学生自己写出 SnS_n，确认结果是 1−1n+11-\dfrac1{n+1}（而非直接写 1）。
图三过程图部分和逼近极限
极限 = 1n=10.500n=20.667n=30.750n=40.800n=50.833n=60.857n=70.875n=80.889Sₙ
Sn=1−1n+1S_n=1-\dfrac1{n+1}，随 nn 增大单调上升并趋于 1；部分和收敛 ⇒ 级数收敛，和为 1。
教师问：柱子会不会超过 1？为什么？引向「有上界 + 单调 ⇒ 收敛」。
学生读出每个柱子的高度（0.5、0.667、0.75…），说出「越来越接近 1」。
图四路径图本型题的决策步（来自分解库）
① 通项 aₙ看清结构② 选工具部分和/比较③ 求 Sₙ裂项相消④ 取极限Sₙ → 1⑤ 结论收敛于 1按序执行；每步产出一个可核验的中间结果。
五步决策：每步产出一个可核验的中间结果，最后一步落到结论。
教师只点拨关键一步，其余留给学生补全。
学生按图逐步执行，把每步的中间结果写下来。
图五雷区图错在哪一步（真实数据接入位）
雷区数据接入位　本图用于把「最易错处」钉在图上的具体位置；错误率来自题库作答聚合（脱敏·按知识点「数项级数求和」）。
本知识点真实错误率：数据接入后显示（暂无则不显示，绝不编造）。
雷区图把「最容易错的地方」钉在图上的具体位置；错误率数据接入后显示。
教师小结只点典型错误、不点名；若某雷区错误率 > 40%，下节课开头加 3 分钟快问快答。
学生对照自查：这几个位置我有没有踩坑？
图六认知层级图本题落在 Bloom 哪一层
认知层级（Bloom）：本题在主序列中的位置记忆●理解●应用●分析评价创造绿=本题涉及；灰=本题不涉及（层级递进，但不要求每题都到顶）
本题涉及的认知层级（绿）——从「记忆」到「创造」逐级递进。
教师据此定课堂标高：只到「应用」的题，不拔到「评价」。
学生知道要练到哪一层：会算 ≠ 会用。
图七方法矩阵同型扫描：见到什么→用什么方法
方法选择矩阵：看识别特征 → 定判别方法 → 对到实例识别特征判别方法实例可裂项 1/n(n+1)部分和·裂项相消本题 12-1 ★交错 (-1)ⁿ⁻¹·bₙLeibniz 判别法12-2含 xⁿ/n!（幂级数）比值法求半径12-3对数型 1/(n·ln n)积分判别法12-6
把「同型题」按**判别方法**归类：识别特征 → 方法 → 实例，一眼看到方法选择逻辑。
教师用这张表带「方法选择」——不是背题，是见招拆招。
学生做完一题后对照：下次见到同类特征，能不能自己选方法？
🔗 同型题串联（练完这题接着练）：练同类 · 12-2 →练同类 · 12-3 →练同类 · 12-6 →
🎯 同型题 · 同考场（Ch7 数项级数求和 · 题库真题 38 道，取 4 道 · 可溯源 id，非本题改编）
求幂级数 ∑n=0∞(n+1)xn\sum_{n=0}^\infty (n+1)x^n 的和函数，并求收敛域。
#HC0776-002 ｜ calc ｜ 进阶
看答案
1(1−x)2,  ∣x∣<1\frac{1}{(1-x)^2},\;|x|<1
求幂级数 ∑n=1∞xnn\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n} 的和函数。
#HC0776-003 ｜ calc ｜ 进阶
看答案
−ln⁡(1−x),  ∣x∣<1-\ln(1-x),\;|x|<1
幂级数 ∑n=0∞(−1)n2n+1x2n+1\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1} 的收敛半径是：
#HC0776-005 ｜ choice ｜ 进阶
看答案
C
求级数 ∑n=1∞(−1)n−1n\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n} 的和。
#HC0776-007 ｜ fill ｜ 进阶
看答案
ln⁡2\ln2
做法同源：识别特征 → 判别方法 → 验算。答案可折叠，先自己做再看；错误率来自训练记录（样本不足则留白，绝不编造）。
⬆ 认知再上一级评价 / 创造 · 只增不改
⚖ 多解反思 · 解法比较（评价层）
做完别急着走，再问一层：回顾解题过程，总结关键步骤
能说清「为什么选它、别的为什么不行」，才算把方法用活。　溯源：题库 12-1 · thinking_guide.reflection
✍ 命题人 · 我来改一题（创造层）
试着把题改一处条件，编一个新题：尝试改变条件，构造新问题
能自己出题并给出答案，说明你摸到了这道题的「命门」。　溯源：题库 12-1 · thinking_guide.transfer
🔧 工程视角 · 学以致用（题库真题 #HC0776-024 ｜ 无穷级数）
工程问题→数学建模→级数工具→工程结论
信号每经过一级中继站强度衰减为原来的 23\dfrac23。求各级剩余强度之和与初始强度的比值（∑n=1∞23n\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{2}{3^n}）。
看工程结论
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把「无穷级数」落到一个真实工程/金融场景——这就是「学以致用」。
🎯 小试一刀 · 先想再对
判断级数 ∑n=1∞1n(n+1)\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n(n+1)} 是否收敛
你自己做到哪一步？（如实自评，用于生成你的复习路径）
💡 使用比较判别法或求部分和
🎯 从会做 → 会迁移解题能力 · 只增不改
🔁 举一反三 · 同型变式回练
以下为本题的同型题（题库真源 · 可溯源）——先自己做，再展开答案：
  1. 判断 ∑n=1∞(−1)n−11n\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\dfrac{1}{n} 的收敛性
    看答案对一对
    条件收敛（莱布尼茨判别法）
    题库 12-2 · 交错级数
  2. 用比值判别法判断 ∑n=1∞xnn!\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^{n}}{n!} 的收敛半径
    看答案对一对
    R=∞（对所有 x 收敛）
    题库 12-3 · 正项级数收敛
  3. 判断 ∑n=2∞1nln⁡n\sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{n\ln n} 的敛散性
    看答案对一对
    发散（积分判别法）
    题库 12-6 · 数项级数
🧭 解题策略卡 · 识别式
拿到题先问自己：仔细分析题目条件，找出解题突破口
把「看见什么信号 → 想到什么方法」记成条件反射，比记题型更耐用。　溯源：题库 12-1 · thinking_guide.trigger
📈 考研真题角 · 命题规律（本题库真题 · 可溯源 id · 每页 2 道）
将 f(x)=exf(x)=e^{x} 展开为 xx 的幂级数
#12-4 ｜ 难度 6/6 ｜ 展开
看答案与命题人视角
e^x = ∑ x^n/n! = 1 + x + x²/2! + ...
命题人视角：级数章是「工具+综合」考点——判别法选择、收敛域端点、和函数构造常与微分方程/积分交叉命题。
设 f(x)=x(π−x)f(x)=x(\pi-x)，0≤x≤π0\le x\le\pi，将 f(x)f(x) 展开为以 2π2\pi 为周期的正弦级数，并利用该展开式求 ∑n=1∞1(2n−1)3\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^3} 的值。
#12-10 ｜ 难度 5/6 ｜ 证明
看答案与命题人视角
∑n=1∞1(2n−1)3=π332\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^3}=\frac{\pi^3}{32}
命题人视角：级数章是「工具+综合」考点——判别法选择、收敛域端点、和函数构造常与微分方程/积分交叉命题。