🦞 定积AI · 图说高数 · 第1章 极限与连续

第1章 · 极限与连续：章地图图解

先选维度再找题：按题型 / 认知层级 / 判别方法筛选；每题按自身题型取图式子集；师生双视图同源一份。本章是「数据驱动」样板章——雷区图挂钩真实训练记录。
题型
认知层级
判别方法
01
求极限：lim⁡n→∞(1+1n)n\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac1n\right)^{n}
题库题号 1-1 ｜ 计算 ｜ 记忆 ｜ 判别方法：重要极限 (1+1/n)^n
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02
求极限：lim⁡x→0sin⁡3xx\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin 3x}{x}
题库题号 1-2 ｜ 计算 ｜ 记忆 ｜ 判别方法：等价无穷小：sin u ~ u
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03
求极限：lim⁡x→∞(1+1x)x\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\dfrac1x\right)^{x}
题库题号 1-3 ｜ 计算 ｜ 记忆 ｜ 判别方法：重要极限 (1+1/x)^x
图解 →
04
用 ε\varepsilon-NN 语言证明：lim⁡n→∞1n=0\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac1n=0
题库题号 1-4 ｜ 证明 ｜ 记忆 ｜ 判别方法：ε-N 定义证明
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05
用 ε\varepsilon-δ\delta 语言证明：lim⁡x→1(2x−1)=1\lim\limits_{x\to 1}(2x-1)=1
题库题号 1-5 ｜ 证明 ｜ 记忆 ｜ 判别方法：ε-δ 定义证明
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06
判断 f(x)={x2,x<12x−1,x≥1f(x)=\begin{cases}x^{2},&x<1\\[2pt]2x-1,&x\geq 1\end{cases} 在 x=1x=1 处的连续性
题库题号 1-6 ｜ 计算 ｜ 记忆 ｜ 判别方法：分段函数：左右极限对照
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07
指出 f(x)=1xf(x)=\dfrac1x 的间断点类型
题库题号 1-7 ｜ 判断 ｜ 记忆 ｜ 判别方法：间断点分类（无穷间断）
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08
当 x→0x\to 0 时，比较无穷小量 x, sin⁡x, x2, tan⁡xx,\ \sin x,\ x^{2},\ \tan x 的阶数
题库题号 1-8 ｜ 分析 ｜ 记忆 ｜ 判别方法：无穷小阶的比较（比值法）
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09
求极限：lim⁡x→01−cos⁡xx2\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{x^{2}}
题库题号 1-9 ｜ 计算 ｜ 记忆 ｜ 判别方法：等价无穷小：1-cos x ~ x²/2
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10
求极限：lim⁡x→0ln⁡(1+x)x\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}
题库题号 1-10 ｜ 计算 ｜ 记忆 ｜ 判别方法：等价无穷小：ln(1+x) ~ x
图解 →
11
求极限：lim⁡x→0ex−1x\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^{x}-1}{x}
题库题号 1-11 ｜ 计算 ｜ 记忆 ｜ 判别方法：等价无穷小：e^x-1 ~ x
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12
求极限：lim⁡x→0(1+x)1/x−ex\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{(1+x)^{1/x}-e}{x}
题库题号 1-12 ｜ 计算 ｜ 记忆 ｜ 判别方法：幂指型：取对数 + 泰勒
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13
设 f(x)={sin⁡xx,x≠0a,x=0f(x)=\begin{cases}\dfrac{\sin x}{x},&x\neq 0\\[2pt]a,&x=0\end{cases}，求 aa 使 f(x)f(x) 在 x=0x=0 处连续。
题库题号 1-13 ｜ 综合 ｜ 记忆 ｜ 判别方法：补定义使连续
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14
设 g(x)=x2−1x−1 (x≠1)g(x)=\dfrac{x^{2}-1}{x-1}\ (x\neq 1)，且 g(1)=kg(1)=k，求 kk 使 gg 在 x=1x=1 处连续。
题库题号 1-14 ｜ 综合 ｜ 记忆 ｜ 判别方法：约分 + 补定义连续
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15
当 x→0x\to 0 时，比较无穷小 ex−1−xe^{x}-1-x 与 x2x^{2} 的阶，并求 lim⁡x→0ex−1−xx2\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^{x}-1-x}{x^{2}}。
题库题号 1-15 ｜ 分析 ｜ 记忆 ｜ 判别方法：泰勒定阶
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16
求数列极限：lim⁡n→∞(n2+n−n)\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sqrt{n^{2}+n}-n\right)
题库题号 1-16 ｜ 计算 ｜ 理解 ｜ 判别方法：根式差：有理化
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17
求极限：lim⁡n→∞n[(1+1n)n−e]\lim\limits_{n\to\infty}n\left[\left(1+\dfrac1n\right)^{n}-e\right]
题库题号 1-17 ｜ 计算 ｜ 理解 ｜ 判别方法：幂指型：取对数 + 泰勒
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18
证明：lim⁡x→0xsin⁡1x=0\lim\limits_{x\to 0}x\sin\dfrac1x=0
题库题号 1-18 ｜ 证明 ｜ 分析 ｜ 判别方法：夹逼准则（振荡 × 无穷小）
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19
求极限：lim⁡x→0(1+x)α−1x\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{(1+x)^{\alpha}-1}{x}（α\alpha 为常数）
题库题号 1-19 ｜ 计算 ｜ 理解 ｜ 判别方法：导数定义 / 广义二项式
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20
判断极限是否存在：lim⁡x→0∣x∣x\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{|x|}{x}；若不存在，说明原因。
题库题号 1-20 ｜ 判断 ｜ 理解 ｜ 判别方法：左右极限判定不存在
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21
函数 f(x)=4−x2ln⁡(x+1)f(x)=\frac{\sqrt{4-x^2}}{\ln(x+1)} 的定义域是
题库题号 1-21 ｜ 计算 ｜ 记忆 ｜ 判别方法：定义域（根式+对数+分母）
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22
设数列 {an}\{a_n\} 满足 an=2n+13n+2a_n = \frac{2n+1}{3n+2}，用 ε\varepsilon-NN 定义证明 lim⁡n→∞an=23\lim_{n\to\infty} a_n = \frac{2}{3}。
题库题号 1-22 ｜ 证明 ｜ 分析 ｜ 判别方法：ε-N 定义证明（数列）
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23
下列极限计算中，结果正确的是：
题库题号 1-23 ｜ 判断 ｜ 应用 ｜ 判别方法：极限型别逐项判定
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24
求极限 lim⁡x→0sin⁡3xtan⁡5x\lim_{x\to 0} \frac{\sin 3x}{\tan 5x}。
题库题号 1-24 ｜ 计算 ｜ 应用 ｜ 判别方法：等价无穷小：sin u~u, tan u~u
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25
求函数f(x)=(x2−1)/(x2−3x+2)f(x)=(x^{2}-1)/(x^{2}-3x+2)的间断点并分类。
题库题号 1-25 ｜ 计算 ｜ 分析 ｜ 判别方法：因式分解定间断点类型
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26
证明方程 x3−3x+1=0x^3-3x+1=0 在 (0,1)(0,1) 内至少有一个根。
题库题号 1-26 ｜ 证明 ｜ 分析 ｜ 判别方法：零点定理
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27
求极限 lim⁡x→0x2sin⁡1x\lim\limits_{x \to 0}x^{2}\sin\frac{1}{x}。
题库题号 1-27 ｜ 计算 ｜ 应用 ｜ 判别方法：夹逼准则（有界 × 无穷小）
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28
设 f(x+1)=x2+3x+2f(x+1)=x^2+3x+2，求 f(x)f(x)
题库题号 1-28 ｜ 计算 ｜ 应用 ｜ 判别方法：换元法求解析式
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29
求极限 lim⁡n→∞12+22+⋯+n2n3\lim_{n\to\infty}\frac{1^2+2^2+\cdots+n^2}{n^3}
题库题号 1-29 ｜ 计算 ｜ 记忆 ｜ 判别方法：平方和公式 + 极限
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30
计算 lim⁡x→0tan⁡3x−sin⁡2xx\lim_{x\to0}\frac{\tan3x-\sin2x}{x}
题库题号 1-30 ｜ 计算 ｜ 记忆 ｜ 判别方法：拆项后用重要极限
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没有同时满足以上条件的题目，请放宽筛选。