🦞 定积AI · 图说高数 · 第1章 极限与连续

极限与连续 · 设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_n = \frac{2n+1}{3n+2}$，用 $\varepsilon$-$N$ 定义证明 $\lim_{n\to\infty} a_n = \frac{2}{3}$。

第1章 极限与连续 ｜ 题库题号 1-22（可溯源）｜ 一题一图组 · 按题型取式 ｜ 师生双视图同源
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题 干
设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_n = \frac{2n+1}{3n+2}$，用 $\varepsilon$-$N$ 定义证明 $\lim_{n\to\infty} a_n = \frac{2}{3}$。
还原图ε-N 见证图（新图元）过程图方法矩阵路径图雷区图认知层级图
1还原图从题干取出已知与所求
已 知a_n = (2n+1)/(3n+2)ε > 0 任意所 求用 ε-N 定义证明 lim = 2/3缺口需架桥
先化简 |a_n − A| 到最简，再反解 N。
教师点题：先读题，圈出关键量，再想用哪把「钥匙」。
学生复述：这道题给了什么、问什么？
2ε-N 见证图（新图元）任给 ε → 反解 N → 验证
① 任给 ε > 0对手先出招：一个任意的小正数② 反解 N从 |a_n − 2/3|< ε 解出 n > N③ 验证n > N 时，|a_n −2/3| < ε 成立决胆：N 的选取只依赖 ε，不依赖 n 本身。
① 任给 ε>0；② 反解 n>N；③ 验证 |a_n−A|<ε。
教师：N 只依赖 ε，是「ε 的函数」。
学生：写出 N(ε) 的表达式。
3过程图标准解法链（题库真实步骤）
标准解法链（题库真实步骤，可核验）第1步$\varepsilon>0$，要证 $\left|\frac{2n+1}{3n+2}-\frac23\right|<\varepsilon$。第2步$\left|\frac{2n+1}{3n+2}-\frac23\right| = \left|\frac{3(2n+1)-2(3n+2)}{3(3n+2)}\right| = \left|\frac{6n+3-6n-4}{3(3n+2)}\right| = \frac{1}{3(3n+2)}$。第3步$\frac{1}{3(3n+2)}<\varepsilon$，只需 $3n+2>\frac{1}{3\varepsilon}$，即 $n>\frac{1}{9\varepsilon}-\frac23$。取 $N=\max\{1,\lfloor\frac{1}{9\varepsilon}-\frac23\rfloor+1\}$，则 $n>N$ 时不等式成立，故极限为 $\frac23$。
每一步来自题库真实解法（LaTeX），可逐条核验。
教师：强调枢纽步骤——它把陌生问题化成熟悉套路。
学生：照步复算，逐条核对。
4方法矩阵识别特征 → 判别方法 → 实例
方法选择矩阵：看识别特征 → 定判别方法 → 对到实例识别特征判别方法实例ε-N 定义证明反解不等式，取 N = N(ε)1-4 / 1-22ε-δ 定义证明提出 |x-x₀| 反解 δ1-5极限不存在验证左右极限不相等1-20幂指型 1^∞取对数 + 等价无穷小1-1 / 1-3
方法矩阵：认结构 → 定方法；高亮行是本章相关方法。
教师：先认结构，再挑方法，别一上来就硬算。
学生：把本题归到某一行，说明理由。
5路径图考场四步走
写定义∀ε,∃N/δ反解不等式取 N/δ(ε 的函数)回代验证结论成立枢纽：全题的咽喉，学生必须亲手补全这一步。
四步路径，每步产出一个可核验的中间结果。
教师：枢纽步一般是「选方法」或「取对数/换元」。
学生：复述四步，标出自己卡在哪一步。
6雷区图错在哪一步
雷区（真实数据）　本图把「最易错处」钉在图上的具体位置；错误率来自训练记录聚合（脱敏·按知识点「极限概念」）。
本知识点真实错误率：数据接入后显示（暂无则不显示，绝不编造）。
雷区真实错误率来自训练记录聚合（脱敏·按知识点）。
教师：先让学生说出自己易错点，再对照雷区率。
学生：回顾自己是否踩过同类坑。
7认知层级图本题的认知标高
认知层级（Bloom）：本题在主序列中的位置记忆理解应用分析●评价创造绿=本题涉及；灰=本题不涉及（层级递进，但不要求每题都到顶）
本题涉及层级来自题库 bloom_levels。
教师：对标布鲁姆，别停在「记住」。
学生：自评你到哪一层了？