🦞 定积AI · 图说高数 · 第1章 极限与连续

极限与连续 · 判断 $f(x)=\begin{cases}x^{2},&x<1\\[2pt]2x-1,&x\geq 1\end{cases}$ 在 $x=1$ 处的连续性

第1章 极限与连续 ｜ 题库题号 1-6（可溯源）｜ 一题一图组 · 按题型取式 ｜ 师生双视图同源
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题 干
判断 $f(x)=\begin{cases}x^{2},&x<1\\[2pt]2x-1,&x\geq 1\end{cases}$ 在 $x=1$ 处的连续性
还原图间断点决策树（新图元）过程图方法矩阵路径图雷区图认知层级图
1还原图从题干取出已知与所求
已 知分段函数 f：x<1 取 x²，x≥1 取 2x−1考察点 x₀ = 1（分段界点）所 求判断 f 在 x = 1 处的连续性缺口需架桥
分段函数在界点处的连续性：必须查三件事。
先问：判断连续要看哪几个量？（f(1)、左极限、右极限）
关键：分段界点是连续性的「高危点」。
2间断点决策树（新图元）判断顺序：定义域→左右极限→函数值
① f(1) 有定义?f(1) = 2·1−1 = 1定义域覆盖，通过② 左右极限?lim⁻ x²=1，lim⁺ 2x−1=1左右相等，极限=1③ 极限=函数值?1 = 1三条件齐备 → 连续判断顺序：先看定义域 → 再看左右极限 → 最后对照函数值。
三条件齐备 ⟹ 连续：① f(1) 有定义 ② 左右极限相等 ③ 极限=函数值。
板书：先算 f(1)=1；再看左极限 x²→1、右极限 2x−1→1；最后对照。
任何一步不成立，就是间断点（可去/跳跃/无穷）。
3过程图三段核验链
分解链：每一步都可核验① 算 f(1)f(1) = 2·1−1 = 1② 算左极限lim(x→1⁻) x² = 1③ 算右极限lim(x→1⁺) (2x−1) = 1三量相等 ⟹ 连续1 = 1 = 1
连续性判断 = 三个量对照：函数值、左极限、右极限。
强调：分段界点必须分左右两侧算。
写作提醒：三个量都写出来，再下结论。
4方法矩阵识别特征 → 判别方法 → 实例
方法选择矩阵：看识别特征 → 定判别方法 → 对到实例识别特征判别方法实例分段界点查 f(x₀)、左极限、右极限三量本题 1-6可疑点（分母0）先找无定义点，再分左右1-7 / 1-25补定义求连续令极限值 = 函数值1-13 / 1-14
方法矩阵：认结构 → 定方法；本行高亮本题所用方法。
让学生自己归位：这题属于哪一行？
连续性问题的核心：三量对照法。
5路径图考场四步走
定位界点x₀=1算 f(x₀)= 1算左右极限1 和 1对照判连续三量相等枢纽：全题的咽喉，学生必须亲手补全这一步。
四步走：定位 → 算函数值 → 算左右极限 → 对照。
枢纽在第③步——左右极限是否相等是关键。
考场提示：分段函数题先圈出界点，再逐个算。
6雷区图错在哪一步
雷区（真实数据）　本图把「最易错处」钉在图上的具体位置；错误率来自训练记录聚合（脱敏·按知识点「函数的连续性」）。
本知识点真实错误率：数据接入后显示（暂无则不显示，绝不编造）。
雷区真实错误率来自训练记录聚合（脱敏）。
常见错：只算右极限、或直接代 x=1 不看左右。
记牢：分段函数在界点处必须「分左右」讨论。
7认知层级图本题的认知标高
认知层级（Bloom）：本题在主序列中的位置记忆理解●应用●分析●评价创造绿=本题涉及；灰=本题不涉及（层级递进，但不要求每题都到顶）
本题落在「理解 / 应用 / 分析」三档（题库 bloom_levels）。
对标：能从定义出发判断分段函数连续性。
自评：你会不会漏掉「左极限」这一半？