题 干
设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，且
$(n+1)a_{n+1}=\left(n+\tfrac12\right)a_n\ (n=1,2,\cdots)$。
证明：当 $|x|<1$ 时，幂级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n x^n$ 收敛，并求其和函数 $S(x)$。
图一还原图先把「有什么」摆出来
教师投图后只读题不讲解，点出两个"反常"：不给 $a_n$、只给关系式；留 30 秒静默。
学生读图，用红笔标出已知（$a_1=1$、递推式）与所求（收敛、$S(x)$）；写下第一句猜想：没有通项怎么办？
图二目标图求的到底是哪条线
教师先不给答案，只说明"目标是那条粗线"；把它留到图四动态验证后再揭示。
学生认清目标形状：一条在 $(-1,1)$ 上单调上升、过原点 $(0,0)$ 的曲线。
图四过程图拖 N 看部分和逼近
拖动 N = 2 （粗线 = 和函数 $S(x)$，细线 = 部分和 $S_N(x)$）
教师先快放一遍，再问："为什么两端的偏差甩不掉？"引向收敛半径。
学生拖动 $N$，记录：$N$ 从 2 到 20，中段贴合速度如何变化？端点呢？
图五关键点图三个决定性的数
教师三连问：系数在变小吗？变快还是变慢？比值逼近几？点明 $\rho=1\Rightarrow R=1$。
学生把"比值逼近 1"翻译成 $\lim a_{n+1}/a_n=1$，写出 $R=1$。
图六路径图五步决策树（含枢纽）
教师只点拨两处：① $\sum (n+1)a_{n+1}x^n=S'(x)-a_1$（少了首项）；② $n\,x^n=x\cdot(n x^{n-1})$。
学生补全中间推导，产出本课最核心的一件东西：自己推出的微分方程。
图七雷区图错在哪一步（真实数据）
雷 1｜忘首项 $\sum_{n\ge1}(n+1)a_{n+1}x^n$ 换元后应 $=S'(x)-a_1$，漏掉 $-a_1$ 会改写整个方程。
雷 2｜混淆 $\rho$ 与 $R$ 比值 $\rho=\lim a_{n+1}/a_n=1$，则 $R=1/\rho=1$；$\rho=1$ 不等于"无法判断"。
雷 3｜常数 $C$ 乱定 解微分方程得 $S=2/\sqrt{1-x}+C$，必须用 $S(0)=0$ 定出 $C=-2$。
各雷区真实错误率：数据接入后显示（来自题库作答聚合，脱敏；暂无则不显示，绝不编造）。
教师小结时只点"典型错误"不点名；若某雷区错误率 > 40%，下节课开头加 3 分钟快问快答。
图八变式图换个条件，图怎么变
| 变式 | 条件改动 | 结果如何变 |
|---|---|---|
| ★ | 把 $x^n$ 换成 $x^{2n}$（$R=1$ 不变，域仍 $(-1,1)$） | 和函数改为 $S(x^2)$ 形式，考察"代换"意识 |
| ★★ | 把 $x$ 换成 $x/2$ | 收敛半径 $R=2$；和函数 $2/\sqrt{1-x/2}-2$ |
| ★★★ | 反向：已知 $S(x)$，反求 $a_n$ | $a_n=\dfrac{2\binom{2n}{n}}{4^{n}}$，体认"和函数 ⟺ 系数" |
教师按图五自评率 + 变式批改结果自动分档；★★★ 可给"给图命题"挑战任务。