预测

• 只给定理与'将要做实验'的预告，不展示反例。
• 如果去掉【同步替换微分因子（由 $\varphi$ 可微得 $dx=\frac{du}{\varphi'(x)}$）】，你认为结论还成立吗？先投票，再写下你的理由。；回看证明，指出【同步替换微分因子（由 $\varphi$ 可微得 $dx=\frac{du}{\varphi'(x)}$）】在哪一步被用到？（步骤编号见证明包）；若结论不再成立，你猜反例会'长什么样'？（间断？尖点？振荡？）；若结论碰巧仍成立，这说明条件'不可少'还是'可减弱'？两者有什么区别？
• True

验证

• name：$\int e^{2x}dx$ 漏乘因子；ggb_def：f(x) = e^(2x) g(x) = e^(2x)/2；interval：0；1；explain：令 $u=2x$，则 $dx=\frac12\,du$，故 $\int e^{2x}dx=\frac12 e^{2x}+C$。若漏掉因子（把 $dx$ 当 $du$），得 $e^{2x}+C$，求导为 $2e^{2x}\ne e^{2x}$。崩塌点：换元必须同步替换微分因子。
• 只换被积函数、不换微分因子 $dx$，结果整体相差因子 $1/\varphi'(x)$
• 换元的那一步：$dx=\dfrac{du}{\varphi'(x)}$ 不可省
• f(x) = e^(2x) g(x) = e^(2x)/2
• 在 GeoGebra 中运行反例脚本，拖动/缩放观察；找出'第一个塌掉的步骤'，与预测对照；修改反例的一个特征（位置/幅度/个数），结论何时'复活'？

反思

• 第二类换元 $x=\psi(t)$ 时因子是 $dx=\psi'(t)\,dt$（方向相反），为何仍成立？
• 崩塌发生在证明的哪一步？那一步用了被去掉的条件吗？；如果把被去掉的条件'弱化'而不是删除，哪一步还能撑住？；这个反例能帮你识别 AI 证明里的哪类偷换条件？

迁移

• 从本定理出发，仿照本次实验，为另一个定理设计一次消融实验（写出：去掉哪个条件、预测哪里崩、草拟反例）。
• 一页消融设计卡

GeoGebra 反例脚本（粘贴即用）

# ==================================================
# 消融实验可视化：$\int e^{2x}dx$ 漏乘因子
# 定理：usub_int
# 去掉的条件：同步替换微分因子（由 $\varphi$ 可微得 $dx=\frac{du}{\varphi'(x)}$）
# 粘贴到 GeoGebra 经典版（CAS/绘图区均可逐行执行）
# ==================================================

# --- 1. 参数滑块：把反例的关键特征做成可拖动的参数 ---
a = 0
b = 1
t = Slider(0, 1, 0.01)
k = Slider(0.1, 5, 0.1)

# --- 2. 反例函数（来自 theorem_library） ---
f(x) = e^(2x)
g(x) = e^(2x)/2

# --- 3. 参照对象：弦/平均线 ---
A = (0, f(0))
B = (1, f(1))
secant: Line(A, B)   # 弦：平均变化率的几何化身

# --- 4. 探索引导 ---
# ① 拖动 t：观察函数关键点移动时，弦与切线是否可能平行
# ② 调整 k：观察'崩塌程度'如何变化
# ③ 思考：把 t 拖回区间端点之外（修复条件）时，结论是否复活？

# --- 5. 复活实验（把条件'修回去'） ---
# 例（端点连续性消融）：把 f 的跳跃改成连续过渡，例如
#   f_fix(x) = If(x < t, x, k*t + (x - t)/(b - t)*(f(b) - k*t))
# 观察：连续性修复后，必存在切点与弦平行（拉格朗日'复活'）

预测

• 只给定理与'将要做实验'的预告，不展示反例。
• 如果去掉【$f$ 在 $\varphi$ 的值域上连续（换元区间不跨越 $f$ 的奇点）】，你认为结论还成立吗？先投票，再写下你的理由。；回看证明，指出【$f$ 在 $\varphi$ 的值域上连续（换元区间不跨越 $f$ 的奇点）】在哪一步被用到？（步骤编号见证明包）；若结论不再成立，你猜反例会'长什么样'？（间断？尖点？振荡？）；若结论碰巧仍成立，这说明条件'不可少'还是'可减弱'？两者有什么区别？
• True

验证

• name：$\int \dfrac{2x}{x^2-1}dx$ 跨过 $u=0$；ggb_def：f(x) = 2x/(x^2 - 1)；interval：0；2；explain：令 $u=x^2-1$，得 $\int\frac{1}{u}du=\ln|u|+C=\ln|x^2-1|+C$。原函数在 $x=\pm1$（即 $u=0$）无定义：若换元区间如 $[0,2]$ 跨越 $x=1$，则在含奇点的区间上应写成分段原函数，单一式子不成立。崩塌点：$f$ 在值域上不连续（$u=0$ 处 $1/u$ 无界）。
• 原函数 $F(u)$ 在奇点处无定义，换元跨越奇点后等式在含奇点的区间上失效
• 换元前检查 $\varphi$ 的值域是否落在 $f$ 的一个连续区间内
• f(x) = 2x/(x^2 - 1)
• 在 GeoGebra 中运行反例脚本，拖动/缩放观察；找出'第一个塌掉的步骤'，与预测对照；修改反例的一个特征（位置/幅度/个数），结论何时'复活'？

反思

• 若必须跨过奇点，如何用分段原函数修正？
• 崩塌发生在证明的哪一步？那一步用了被去掉的条件吗？；如果把被去掉的条件'弱化'而不是删除，哪一步还能撑住？；这个反例能帮你识别 AI 证明里的哪类偷换条件？

迁移

• 从本定理出发，仿照本次实验，为另一个定理设计一次消融实验（写出：去掉哪个条件、预测哪里崩、草拟反例）。
• 一页消融设计卡

GeoGebra 反例脚本（粘贴即用）

# ==================================================
# 消融实验可视化：$\int \dfrac{2x}{x^2-1}dx$ 跨过 $u=0$
# 定理：usub_int
# 去掉的条件：$f$ 在 $\varphi$ 的值域上连续（换元区间不跨越 $f$ 的奇点）
# 粘贴到 GeoGebra 经典版（CAS/绘图区均可逐行执行）
# ==================================================

# --- 1. 参数滑块：把反例的关键特征做成可拖动的参数 ---
a = 0
b = 2
t = Slider(0, 2, 0.01)
k = Slider(0.1, 5, 0.1)

# --- 2. 反例函数（来自 theorem_library） ---
f(x) = 2x/(x^2 - 1)

# --- 3. 参照对象：弦/平均线 ---
A = (0, f(0))
B = (2, f(2))
secant: Line(A, B)   # 弦：平均变化率的几何化身

# --- 4. 探索引导 ---
# ① 拖动 t：观察函数关键点移动时，弦与切线是否可能平行
# ② 调整 k：观察'崩塌程度'如何变化
# ③ 思考：把 t 拖回区间端点之外（修复条件）时，结论是否复活？

# --- 5. 复活实验（把条件'修回去'） ---
# 例（端点连续性消融）：把 f 的跳跃改成连续过渡，例如
#   f_fix(x) = If(x < t, x, k*t + (x - t)/(b - t)*(f(b) - k*t))
# 观察：连续性修复后，必存在切点与弦平行（拉格朗日'复活'）