预测

• 只给定理与'将要做实验'的预告，不展示反例。
• 如果去掉【$D$ 单连通（改为多连通/带洞）】，你认为结论还成立吗？先投票，再写下你的理由。；回看证明，指出【$D$ 单连通（改为多连通/带洞）】在哪一步被用到？（步骤编号见证明包）；若结论不再成立，你猜反例会'长什么样'？（间断？尖点？振荡？）；若结论碰巧仍成立，这说明条件'不可少'还是'可减弱'？两者有什么区别？
• True

验证

• name：环形域上的环流；ggb_def：P(x,y) = -y/(x^2 + y^2) Q(x,y) = x/(x^2 + y^2)；interval：0；0；explain：在挖去原点的圆环上 $\partial P/\partial y=\partial Q/\partial x$ 处处成立，但绕内洞的闭曲线积分 $=2\pi\ne0$。崩塌点：区域非单连通。
• 存在不可收缩的闭曲线，局部全微分条件不再充分
• 单连通是『局部 ⟹ 整体』的桥梁
• P(x,y) = -y/(x^2 + y^2) Q(x,y) = x/(x^2 + y^2)
• 在 GeoGebra 中运行反例脚本，拖动/缩放观察；找出'第一个塌掉的步骤'，与预测对照；修改反例的一个特征（位置/幅度/个数），结论何时'复活'？

反思

• 多连通时结论如何修正？（增加绕各洞的回路积分）
• 崩塌发生在证明的哪一步？那一步用了被去掉的条件吗？；如果把被去掉的条件'弱化'而不是删除，哪一步还能撑住？；这个反例能帮你识别 AI 证明里的哪类偷换条件？

迁移

• 从本定理出发，仿照本次实验，为另一个定理设计一次消融实验（写出：去掉哪个条件、预测哪里崩、草拟反例）。
• 一页消融设计卡

GeoGebra 反例脚本（粘贴即用）

# ==================================================
# 消融实验可视化：环形域上的环流
# 定理：path_indep
# 去掉的条件：$D$ 单连通（改为多连通/带洞）
# 粘贴到 GeoGebra 经典版（CAS/绘图区均可逐行执行）
# ==================================================

# --- 1. 参数滑块：把反例的关键特征做成可拖动的参数 ---
a = 0
b = 0
t = Slider(0, 0, 0.01)
k = Slider(0.1, 5, 0.1)

# --- 2. 反例函数（来自 theorem_library） ---
P(x,y) = -y/(x^2 + y^2)
Q(x,y) = x/(x^2 + y^2)

# --- 3. 参照对象：弦/平均线 ---
A = (0, f(0))
B = (0, f(0))
secant: Line(A, B)   # 弦：平均变化率的几何化身

# --- 4. 探索引导 ---
# ① 拖动 t：观察函数关键点移动时，弦与切线是否可能平行
# ② 调整 k：观察'崩塌程度'如何变化
# ③ 思考：把 t 拖回区间端点之外（修复条件）时，结论是否复活？

# --- 5. 复活实验（把条件'修回去'） ---
# 例（端点连续性消融）：把 f 的跳跃改成连续过渡，例如
#   f_fix(x) = If(x < t, x, k*t + (x - t)/(b - t)*(f(b) - k*t))
# 观察：连续性修复后，必存在切点与弦平行（拉格朗日'复活'）

预测

• 只给定理与'将要做实验'的预告，不展示反例。
• 如果去掉【$P,Q$ 一阶连续偏导】，你认为结论还成立吗？先投票，再写下你的理由。；回看证明，指出【$P,Q$ 一阶连续偏导】在哪一步被用到？（步骤编号见证明包）；若结论不再成立，你猜反例会'长什么样'？（间断？尖点？振荡？）；若结论碰巧仍成立，这说明条件'不可少'还是'可减弱'？两者有什么区别？
• True

验证

• name：跨区域拼接的 $P,Q$；ggb_def：P(x,y) = -y/(x^2 + y^2) Q(x,y) = x/(x^2 + y^2)；interval：0；0；explain：在包含原点的区域内 $P,Q$ 无定义、偏导不连续（同格林公式奇点例），四个等价命题同时失效。
• 偏导在中途断裂，等式不再有意义
• 先验证 $P,Q\in C^1(D)$
• P(x,y) = -y/(x^2 + y^2) Q(x,y) = x/(x^2 + y^2)
• 在 GeoGebra 中运行反例脚本，拖动/缩放观察；找出'第一个塌掉的步骤'，与预测对照；修改反例的一个特征（位置/幅度/个数），结论何时'复活'？

反思

• 若为全微分但区域非单连通，原函数是否存在？
• 崩塌发生在证明的哪一步？那一步用了被去掉的条件吗？；如果把被去掉的条件'弱化'而不是删除，哪一步还能撑住？；这个反例能帮你识别 AI 证明里的哪类偷换条件？

迁移

• 从本定理出发，仿照本次实验，为另一个定理设计一次消融实验（写出：去掉哪个条件、预测哪里崩、草拟反例）。
• 一页消融设计卡

GeoGebra 反例脚本（粘贴即用）

# ==================================================
# 消融实验可视化：跨区域拼接的 $P,Q$
# 定理：path_indep
# 去掉的条件：$P,Q$ 一阶连续偏导
# 粘贴到 GeoGebra 经典版（CAS/绘图区均可逐行执行）
# ==================================================

# --- 1. 参数滑块：把反例的关键特征做成可拖动的参数 ---
a = 0
b = 0
t = Slider(0, 0, 0.01)
k = Slider(0.1, 5, 0.1)

# --- 2. 反例函数（来自 theorem_library） ---
P(x,y) = -y/(x^2 + y^2)
Q(x,y) = x/(x^2 + y^2)

# --- 3. 参照对象：弦/平均线 ---
A = (0, f(0))
B = (0, f(0))
secant: Line(A, B)   # 弦：平均变化率的几何化身

# --- 4. 探索引导 ---
# ① 拖动 t：观察函数关键点移动时，弦与切线是否可能平行
# ② 调整 k：观察'崩塌程度'如何变化
# ③ 思考：把 t 拖回区间端点之外（修复条件）时，结论是否复活？

# --- 5. 复活实验（把条件'修回去'） ---
# 例（端点连续性消融）：把 f 的跳跃改成连续过渡，例如
#   f_fix(x) = If(x < t, x, k*t + (x - t)/(b - t)*(f(b) - k*t))
# 观察：连续性修复后，必存在切点与弦平行（拉格朗日'复活'）