预测

• 只给定理与'将要做实验'的预告，不展示反例。
• 如果去掉【连续性】，你认为结论还成立吗？先投票，再写下你的理由。；回看证明，指出【连续性】在哪一步被用到？（步骤编号见证明包）；若结论不再成立，你猜反例会'长什么样'？（间断？尖点？振荡？）；若结论碰巧仍成立，这说明条件'不可少'还是'可减弱'？两者有什么区别？
• True

验证

• name：阶跃函数；ggb_def：f(x) = If(x < 0.5, -1, 1)；interval：0；1；explain：$f(0)=-1,\ f(1)=1$ 异号，但 $f$ 只取 $\pm1$，无零点。崩塌点：连续性。
• 跳跃使端点异号却取不到 0
• 由端点异号到存在零点的过渡依赖连续性
• f(x) = If(x < 0.5, -1, 1)
• 在 GeoGebra 中运行反例脚本，拖动/缩放观察；找出'第一个塌掉的步骤'，与预测对照；修改反例的一个特征（位置/幅度/个数），结论何时'复活'？

反思

• 把连续性弱化为『可导』够吗？（可导⇒连续，但间断点不可导）
• 崩塌发生在证明的哪一步？那一步用了被去掉的条件吗？；如果把被去掉的条件'弱化'而不是删除，哪一步还能撑住？；这个反例能帮你识别 AI 证明里的哪类偷换条件？

迁移

• 从本定理出发，仿照本次实验，为另一个定理设计一次消融实验（写出：去掉哪个条件、预测哪里崩、草拟反例）。
• 一页消融设计卡

GeoGebra 反例脚本（粘贴即用）

# ==================================================
# 消融实验可视化：阶跃函数
# 定理：ivt_zero
# 去掉的条件：连续性
# 粘贴到 GeoGebra 经典版（CAS/绘图区均可逐行执行）
# ==================================================

# --- 1. 参数滑块：把反例的关键特征做成可拖动的参数 ---
a = 0
b = 1
t = Slider(0, 1, 0.01)
k = Slider(0.1, 5, 0.1)

# --- 2. 反例函数（来自 theorem_library） ---
f(x) = If(x < 0.5, -1, 1)

# --- 3. 参照对象：弦/平均线 ---
A = (0, f(0))
B = (1, f(1))
secant: Line(A, B)   # 弦：平均变化率的几何化身

# --- 4. 探索引导 ---
# ① 拖动 t：观察函数关键点移动时，弦与切线是否可能平行
# ② 调整 k：观察'崩塌程度'如何变化
# ③ 思考：把 t 拖回区间端点之外（修复条件）时，结论是否复活？

# --- 5. 复活实验（把条件'修回去'） ---
# 例（端点连续性消融）：把 f 的跳跃改成连续过渡，例如
#   f_fix(x) = If(x < t, x, k*t + (x - t)/(b - t)*(f(b) - k*t))
# 观察：连续性修复后，必存在切点与弦平行（拉格朗日'复活'）

预测

• 只给定理与'将要做实验'的预告，不展示反例。
• 如果去掉【端点异号】，你认为结论还成立吗？先投票，再写下你的理由。；回看证明，指出【端点异号】在哪一步被用到？（步骤编号见证明包）；若结论不再成立，你猜反例会'长什么样'？（间断？尖点？振荡？）；若结论碰巧仍成立，这说明条件'不可少'还是'可减弱'？两者有什么区别？
• True

验证

• name：$x^2$ 在 $[1,2]$；ggb_def：f(x) = x^2；interval：1；2；explain：$f(1)=1,\ f(2)=4$ 同号，函数在 $[1,2]$ 上无零点，与定理并无矛盾——用于对照『异号』是存在性的关键前提。
• 端点同号时零点定理不适用（并非结论失败，而是前提不成立）
• 异号是构造目标值 0 的前提
• f(x) = x^2
• 在 GeoGebra 中运行反例脚本，拖动/缩放观察；找出'第一个塌掉的步骤'，与预测对照；修改反例的一个特征（位置/幅度/个数），结论何时'复活'？

反思

• 端点同号时，如何改条件才能保证存在 $f(\xi)=k$？（介值定理）
• 崩塌发生在证明的哪一步？那一步用了被去掉的条件吗？；如果把被去掉的条件'弱化'而不是删除，哪一步还能撑住？；这个反例能帮你识别 AI 证明里的哪类偷换条件？

迁移

• 从本定理出发，仿照本次实验，为另一个定理设计一次消融实验（写出：去掉哪个条件、预测哪里崩、草拟反例）。
• 一页消融设计卡

GeoGebra 反例脚本（粘贴即用）

# ==================================================
# 消融实验可视化：$x^2$ 在 $[1,2]$
# 定理：ivt_zero
# 去掉的条件：端点异号
# 粘贴到 GeoGebra 经典版（CAS/绘图区均可逐行执行）
# ==================================================

# --- 1. 参数滑块：把反例的关键特征做成可拖动的参数 ---
a = 1
b = 2
t = Slider(1, 2, 0.01)
k = Slider(0.1, 5, 0.1)

# --- 2. 反例函数（来自 theorem_library） ---
f(x) = x^2

# --- 3. 参照对象：弦/平均线 ---
A = (1, f(1))
B = (2, f(2))
secant: Line(A, B)   # 弦：平均变化率的几何化身

# --- 4. 探索引导 ---
# ① 拖动 t：观察函数关键点移动时，弦与切线是否可能平行
# ② 调整 k：观察'崩塌程度'如何变化
# ③ 思考：把 t 拖回区间端点之外（修复条件）时，结论是否复活？

# --- 5. 复活实验（把条件'修回去'） ---
# 例（端点连续性消融）：把 f 的跳跃改成连续过渡，例如
#   f_fix(x) = If(x < t, x, k*t + (x - t)/(b - t)*(f(b) - k*t))
# 观察：连续性修复后，必存在切点与弦平行（拉格朗日'复活'）