预测

• 只给定理与'将要做实验'的预告，不展示反例。
• 如果去掉【$u,v$ 在区间上可微】，你认为结论还成立吗？先投票，再写下你的理由。；回看证明，指出【$u,v$ 在区间上可微】在哪一步被用到？（步骤编号见证明包）；若结论不再成立，你猜反例会'长什么样'？（间断？尖点？振荡？）；若结论碰巧仍成立，这说明条件'不可少'还是'可减弱'？两者有什么区别？
• True

验证

• name：$u=|x|$ 的尖点；ggb_def：u(x) = Abs(x) v(x) = x p(x) = u(x) v(x) d(x) = Derivative(p)；interval：-1；1；explain：在 $x=0$ 处 $u$ 不可导，乘积 $uv$ 的导数公式 $u'v+uv'$ 中 $u'$ 不存在，推导链在尖点断裂。崩塌点：$u$ 的可微性。
• 含尖点的因式使 $(uv)'=u'v+uv'$ 在尖点处失效
• 分部积分源自乘积求导法则，须先验证 $u,v$ 可微
• u(x) = Abs(x) v(x) = x p(x) = u(x) v(x) d(x) = Derivative(p)
• 在 GeoGebra 中运行反例脚本，拖动/缩放观察；找出'第一个塌掉的步骤'，与预测对照；修改反例的一个特征（位置/幅度/个数），结论何时'复活'？

反思

• 若 $u$ 只在有限个点不可导，能否分段使用？
• 崩塌发生在证明的哪一步？那一步用了被去掉的条件吗？；如果把被去掉的条件'弱化'而不是删除，哪一步还能撑住？；这个反例能帮你识别 AI 证明里的哪类偷换条件？

迁移

• 从本定理出发，仿照本次实验，为另一个定理设计一次消融实验（写出：去掉哪个条件、预测哪里崩、草拟反例）。
• 一页消融设计卡

GeoGebra 反例脚本（粘贴即用）

# ==================================================
# 消融实验可视化：$u=|x|$ 的尖点
# 定理：ibp
# 去掉的条件：$u,v$ 在区间上可微
# 粘贴到 GeoGebra 经典版（CAS/绘图区均可逐行执行）
# ==================================================

# --- 1. 参数滑块：把反例的关键特征做成可拖动的参数 ---
a = -1
b = 1
t = Slider(-1, 1, 0.01)
k = Slider(0.1, 5, 0.1)

# --- 2. 反例函数（来自 theorem_library） ---
u(x) = Abs(x)
v(x) = x
p(x) = u(x) v(x)
d(x) = Derivative(p)

# --- 3. 参照对象：弦/平均线 ---
A = (-1, f(-1))
B = (1, f(1))
secant: Line(A, B)   # 弦：平均变化率的几何化身

# --- 4. 探索引导 ---
# ① 拖动 t：观察函数关键点移动时，弦与切线是否可能平行
# ② 调整 k：观察'崩塌程度'如何变化
# ③ 思考：把 t 拖回区间端点之外（修复条件）时，结论是否复活？

# --- 5. 复活实验（把条件'修回去'） ---
# 例（端点连续性消融）：把 f 的跳跃改成连续过渡，例如
#   f_fix(x) = If(x < t, x, k*t + (x - t)/(b - t)*(f(b) - k*t))
# 观察：连续性修复后，必存在切点与弦平行（拉格朗日'复活'）

预测

• 只给定理与'将要做实验'的预告，不展示反例。
• 如果去掉【选 $u,dv$ 使 $v$ 有初等原函数（$v'$ 可积）】，你认为结论还成立吗？先投票，再写下你的理由。；回看证明，指出【选 $u,dv$ 使 $v$ 有初等原函数（$v'$ 可积）】在哪一步被用到？（步骤编号见证明包）；若结论不再成立，你猜反例会'长什么样'？（间断？尖点？振荡？）；若结论碰巧仍成立，这说明条件'不可少'还是'可减弱'？两者有什么区别？
• True

验证

• name：选错 $dv$：$\int \sin(1/x)\,dx$；ggb_def：f(x) = sin(1/x)；interval：0.001；1；explain：若据『反对幂指三』把 $dv$ 取成 $\sin(1/x)\,dx$，则 $v=\int\sin(1/x)dx$ 非初等，$\int v\,du$ 无从计算——公式虽形式成立，但方法失效（无法推进）。对照：把 $dv=dx$、$u=\sin(1/x)$ 更合理，仍受非初等原函数限制。崩塌点：忽视『$v$ 须可求』这一可推进前提。
• $v=\int dv$ 非初等，右端 $\int v\,du$ 不但未化简、还无法给出初等结果
• 分部前先估计：$v$ 是否可求、$\int v\,du$ 是否比原积分更简单
• f(x) = sin(1/x)
• 在 GeoGebra 中运行反例脚本，拖动/缩放观察；找出'第一个塌掉的步骤'，与预测对照；修改反例的一个特征（位置/幅度/个数），结论何时'复活'？

反思

• 『反对幂指三』口诀的本质，是在为哪一个条件做选择？
• 崩塌发生在证明的哪一步？那一步用了被去掉的条件吗？；如果把被去掉的条件'弱化'而不是删除，哪一步还能撑住？；这个反例能帮你识别 AI 证明里的哪类偷换条件？

迁移

• 从本定理出发，仿照本次实验，为另一个定理设计一次消融实验（写出：去掉哪个条件、预测哪里崩、草拟反例）。
• 一页消融设计卡

GeoGebra 反例脚本（粘贴即用）

# ==================================================
# 消融实验可视化：选错 $dv$：$\int \sin(1/x)\,dx$
# 定理：ibp
# 去掉的条件：选 $u,dv$ 使 $v$ 有初等原函数（$v'$ 可积）
# 粘贴到 GeoGebra 经典版（CAS/绘图区均可逐行执行）
# ==================================================

# --- 1. 参数滑块：把反例的关键特征做成可拖动的参数 ---
a = 0.001
b = 1
t = Slider(0.001, 1, 0.01)
k = Slider(0.1, 5, 0.1)

# --- 2. 反例函数（来自 theorem_library） ---
f(x) = sin(1/x)

# --- 3. 参照对象：弦/平均线 ---
A = (0.001, f(0.001))
B = (1, f(1))
secant: Line(A, B)   # 弦：平均变化率的几何化身

# --- 4. 探索引导 ---
# ① 拖动 t：观察函数关键点移动时，弦与切线是否可能平行
# ② 调整 k：观察'崩塌程度'如何变化
# ③ 思考：把 t 拖回区间端点之外（修复条件）时，结论是否复活？

# --- 5. 复活实验（把条件'修回去'） ---
# 例（端点连续性消融）：把 f 的跳跃改成连续过渡，例如
#   f_fix(x) = If(x < t, x, k*t + (x - t)/(b - t)*(f(b) - k*t))
# 观察：连续性修复后，必存在切点与弦平行（拉格朗日'复活'）