预测

• 只给定理与'将要做实验'的预告，不展示反例。
• 如果去掉【『任意』数列（只看单个数列）】，你认为结论还成立吗？先投票，再写下你的理由。；回看证明，指出【『任意』数列（只看单个数列）】在哪一步被用到？（步骤编号见证明包）；若结论不再成立，你猜反例会'长什么样'？（间断？尖点？振荡？）；若结论碰巧仍成立，这说明条件'不可少'还是'可减弱'？两者有什么区别？
• True

验证

• name：$\sin(1/x)$ 的两列；ggb_def：f(x) = sin(1/x)；interval：0.0001；0.05；explain：取 $x_n=\frac{1}{2n\pi}$ 得 $f(x_n)\to 0$；取 $y_n=\frac{1}{2n\pi+\pi/2}$ 得 $f(y_n)\to 1$。两列极限不同 ⇒ 原极限不存在。
• 单个数列收敛不能推出函数极限存在
• 『$\Leftarrow$』要求所有路径一致
• f(x) = sin(1/x)
• 在 GeoGebra 中运行反例脚本，拖动/缩放观察；找出'第一个塌掉的步骤'，与预测对照；修改反例的一个特征（位置/幅度/个数），结论何时'复活'？

反思

• 若只知某一列收敛，能得到什么？（仅该方向上函数值收敛）
• 崩塌发生在证明的哪一步？那一步用了被去掉的条件吗？；如果把被去掉的条件'弱化'而不是删除，哪一步还能撑住？；这个反例能帮你识别 AI 证明里的哪类偷换条件？

迁移

• 从本定理出发，仿照本次实验，为另一个定理设计一次消融实验（写出：去掉哪个条件、预测哪里崩、草拟反例）。
• 一页消融设计卡

GeoGebra 反例脚本（粘贴即用）

# ==================================================
# 消融实验可视化：$\sin(1/x)$ 的两列
# 定理：heine_seq
# 去掉的条件：『任意』数列（只看单个数列）
# 粘贴到 GeoGebra 经典版（CAS/绘图区均可逐行执行）
# ==================================================

# --- 1. 参数滑块：把反例的关键特征做成可拖动的参数 ---
a = 0.0001
b = 0.05
t = Slider(0.0001, 0.05, 0.01)
k = Slider(0.1, 5, 0.1)

# --- 2. 反例函数（来自 theorem_library） ---
f(x) = sin(1/x)

# --- 3. 参照对象：弦/平均线 ---
A = (0.0001, f(0.0001))
B = (0.05, f(0.05))
secant: Line(A, B)   # 弦：平均变化率的几何化身

# --- 4. 探索引导 ---
# ① 拖动 t：观察函数关键点移动时，弦与切线是否可能平行
# ② 调整 k：观察'崩塌程度'如何变化
# ③ 思考：把 t 拖回区间端点之外（修复条件）时，结论是否复活？

# --- 5. 复活实验（把条件'修回去'） ---
# 例（端点连续性消融）：把 f 的跳跃改成连续过渡，例如
#   f_fix(x) = If(x < t, x, k*t + (x - t)/(b - t)*(f(b) - k*t))
# 观察：连续性修复后，必存在切点与弦平行（拉格朗日'复活'）

预测

• 只给定理与'将要做实验'的预告，不展示反例。
• 如果去掉【$x_n\neq x_0$】，你认为结论还成立吗？先投票，再写下你的理由。；回看证明，指出【$x_n\neq x_0$】在哪一步被用到？（步骤编号见证明包）；若结论不再成立，你猜反例会'长什么样'？（间断？尖点？振荡？）；若结论碰巧仍成立，这说明条件'不可少'还是'可减弱'？两者有什么区别？
• True

验证

• name：在 $x_0$ 处改值的函数；ggb_def：f(x) = If(x == 0, 5, 0)；interval：-1；1；explain：取常数列 $x_n\equiv 0$，得 $f(x_n)\equiv 5\to 5$；但 $\lim\limits_{x\to 0}f(x)=0$，二者不等。崩塌点：未排除 $x_n=x_0$。
• 允许取到 $x_0$ 时，函数在 $x_0$ 的取值会污染结论
• 去心邻域 vs 含心邻域
• f(x) = If(x == 0, 5, 0)
• 在 GeoGebra 中运行反例脚本，拖动/缩放观察；找出'第一个塌掉的步骤'，与预测对照；修改反例的一个特征（位置/幅度/个数），结论何时'复活'？

反思

• 连续性要求含心邻域极限等于函数值，与本题有何区别？
• 崩塌发生在证明的哪一步？那一步用了被去掉的条件吗？；如果把被去掉的条件'弱化'而不是删除，哪一步还能撑住？；这个反例能帮你识别 AI 证明里的哪类偷换条件？

迁移

• 从本定理出发，仿照本次实验，为另一个定理设计一次消融实验（写出：去掉哪个条件、预测哪里崩、草拟反例）。
• 一页消融设计卡

GeoGebra 反例脚本（粘贴即用）

# ==================================================
# 消融实验可视化：在 $x_0$ 处改值的函数
# 定理：heine_seq
# 去掉的条件：$x_n\neq x_0$
# 粘贴到 GeoGebra 经典版（CAS/绘图区均可逐行执行）
# ==================================================

# --- 1. 参数滑块：把反例的关键特征做成可拖动的参数 ---
a = -1
b = 1
t = Slider(-1, 1, 0.01)
k = Slider(0.1, 5, 0.1)

# --- 2. 反例函数（来自 theorem_library） ---
f(x) = If(x == 0, 5, 0)

# --- 3. 参照对象：弦/平均线 ---
A = (-1, f(-1))
B = (1, f(1))
secant: Line(A, B)   # 弦：平均变化率的几何化身

# --- 4. 探索引导 ---
# ① 拖动 t：观察函数关键点移动时，弦与切线是否可能平行
# ② 调整 k：观察'崩塌程度'如何变化
# ③ 思考：把 t 拖回区间端点之外（修复条件）时，结论是否复活？

# --- 5. 复活实验（把条件'修回去'） ---
# 例（端点连续性消融）：把 f 的跳跃改成连续过渡，例如
#   f_fix(x) = If(x < t, x, k*t + (x - t)/(b - t)*(f(b) - k*t))
# 观察：连续性修复后，必存在切点与弦平行（拉格朗日'复活'）