预测

• 只给定理与'将要做实验'的预告，不展示反例。
• 如果去掉【$P,Q$ 在 $D$ 上一阶连续偏导（出现奇点）】，你认为结论还成立吗？先投票，再写下你的理由。；回看证明，指出【$P,Q$ 在 $D$ 上一阶连续偏导（出现奇点）】在哪一步被用到？（步骤编号见证明包）；若结论不再成立，你猜反例会'长什么样'？（间断？尖点？振荡？）；若结论碰巧仍成立，这说明条件'不可少'还是'可减弱'？两者有什么区别？
• True

验证

• name：绕原点的环流函数；ggb_def：P(x,y) = -y/(x^2 + y^2) Q(x,y) = x/(x^2 + y^2)；interval：1；1；explain：在挖去原点的区域内 $\partial Q/\partial x-\partial P/\partial y\equiv 0$，但绕原点单位圆 $\oint_L P\,dx+Q\,dy=2\pi\ne0$。崩塌点：原点处 $P,Q$ 无定义、偏导不连续。
• 奇点处偏导不存在/不连续，公式失效；直观是绕奇点出现净环流
• 应用格林公式前须检查 $P,Q$ 在 $D$ 内处处可偏导
• P(x,y) = -y/(x^2 + y^2) Q(x,y) = x/(x^2 + y^2)
• 在 GeoGebra 中运行反例脚本，拖动/缩放观察；找出'第一个塌掉的步骤'，与预测对照；修改反例的一个特征（位置/幅度/个数），结论何时'复活'？

反思

• 挖去奇点后如何修正？（挖洞 + 内边界反向，使洞内不参与积分）
• 崩塌发生在证明的哪一步？那一步用了被去掉的条件吗？；如果把被去掉的条件'弱化'而不是删除，哪一步还能撑住？；这个反例能帮你识别 AI 证明里的哪类偷换条件？

迁移

• 从本定理出发，仿照本次实验，为另一个定理设计一次消融实验（写出：去掉哪个条件、预测哪里崩、草拟反例）。
• 一页消融设计卡

GeoGebra 反例脚本（粘贴即用）

# ==================================================
# 消融实验可视化：绕原点的环流函数
# 定理：green_thm
# 去掉的条件：$P,Q$ 在 $D$ 上一阶连续偏导（出现奇点）
# 粘贴到 GeoGebra 经典版（CAS/绘图区均可逐行执行）
# ==================================================

# --- 1. 参数滑块：把反例的关键特征做成可拖动的参数 ---
a = 1
b = 1
t = Slider(1, 1, 0.01)
k = Slider(0.1, 5, 0.1)

# --- 2. 反例函数（来自 theorem_library） ---
P(x,y) = -y/(x^2 + y^2)
Q(x,y) = x/(x^2 + y^2)

# --- 3. 参照对象：弦/平均线 ---
A = (1, f(1))
B = (1, f(1))
secant: Line(A, B)   # 弦：平均变化率的几何化身

# --- 4. 探索引导 ---
# ① 拖动 t：观察函数关键点移动时，弦与切线是否可能平行
# ② 调整 k：观察'崩塌程度'如何变化
# ③ 思考：把 t 拖回区间端点之外（修复条件）时，结论是否复活？

# --- 5. 复活实验（把条件'修回去'） ---
# 例（端点连续性消融）：把 f 的跳跃改成连续过渡，例如
#   f_fix(x) = If(x < t, x, k*t + (x - t)/(b - t)*(f(b) - k*t))
# 观察：连续性修复后，必存在切点与弦平行（拉格朗日'复活'）

预测

• 只给定理与'将要做实验'的预告，不展示反例。
• 如果去掉【边界取『正向』】，你认为结论还成立吗？先投票，再写下你的理由。；回看证明，指出【边界取『正向』】在哪一步被用到？（步骤编号见证明包）；若结论不再成立，你猜反例会'长什么样'？（间断？尖点？振荡？）；若结论碰巧仍成立，这说明条件'不可少'还是'可减弱'？两者有什么区别？
• True

验证

• name：单位圆取负向；ggb_def：P(x,y) = -y Q(x,y) = x；interval：1；1；explain：取 $P=-y,Q=x$，正向上 $\oint=\iint_D 2\,d\sigma=2\pi$；若 $L$ 取负向（顺时针），则 $\oint=-2\pi$。定向是公式成立的必要约定。
• 边界定向不取正向时，等式右端整体反号
• 『正向』= 沿边界走时区域在左手侧
• P(x,y) = -y Q(x,y) = x
• 在 GeoGebra 中运行反例脚本，拖动/缩放观察；找出'第一个塌掉的步骤'，与预测对照；修改反例的一个特征（位置/幅度/个数），结论何时'复活'？

反思

• 区域带洞时，内边界应取何种方向？
• 崩塌发生在证明的哪一步？那一步用了被去掉的条件吗？；如果把被去掉的条件'弱化'而不是删除，哪一步还能撑住？；这个反例能帮你识别 AI 证明里的哪类偷换条件？

迁移

• 从本定理出发，仿照本次实验，为另一个定理设计一次消融实验（写出：去掉哪个条件、预测哪里崩、草拟反例）。
• 一页消融设计卡

GeoGebra 反例脚本（粘贴即用）

# ==================================================
# 消融实验可视化：单位圆取负向
# 定理：green_thm
# 去掉的条件：边界取『正向』
# 粘贴到 GeoGebra 经典版（CAS/绘图区均可逐行执行）
# ==================================================

# --- 1. 参数滑块：把反例的关键特征做成可拖动的参数 ---
a = 1
b = 1
t = Slider(1, 1, 0.01)
k = Slider(0.1, 5, 0.1)

# --- 2. 反例函数（来自 theorem_library） ---
P(x,y) = -y
Q(x,y) = x

# --- 3. 参照对象：弦/平均线 ---
A = (1, f(1))
B = (1, f(1))
secant: Line(A, B)   # 弦：平均变化率的几何化身

# --- 4. 探索引导 ---
# ① 拖动 t：观察函数关键点移动时，弦与切线是否可能平行
# ② 调整 k：观察'崩塌程度'如何变化
# ③ 思考：把 t 拖回区间端点之外（修复条件）时，结论是否复活？

# --- 5. 复活实验（把条件'修回去'） ---
# 例（端点连续性消融）：把 f 的跳跃改成连续过渡，例如
#   f_fix(x) = If(x < t, x, k*t + (x - t)/(b - t)*(f(b) - k*t))
# 观察：连续性修复后，必存在切点与弦平行（拉格朗日'复活'）