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Math 2.0 示范单元 · 微积分基本定理（Newton–Leibniz 公式）
ch5 定积分 ｜ 证明重构 + 条件消融 ｜ 零外链·本地 KaTeX
定理：设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，$F$ 为 $f$ 的一个原函数，则 $\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$。
一、证明重构（一题多讲法）
F1变上限函数求导法（标准）
定义 链式结构
构造变上限函数 $\Phi(x)=\int_a^x f(t)\,dt$，从 $a$ 积到 $x$
依据：构造变上限函数
用积分中值定理证明 $\Phi'(x)=f(x)$
依据：积分中值定理 + 连续性
故 $\Phi$ 是 $f$ 的一个原函数，与 $F$ 相差常数 $C$：$\Phi(x)=F(x)+C$
依据：原函数族相差常数
代入 $x=a$ 得 $C=-F(a)$，再令 $x=b$ 即得 $\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$
依据：代数整理
教学注：逻辑主干；求导那一步是难点。
直观性 2.0 · 可教性 2.6 · 严谨性 4.4 · 衔接性 2.0 · 综合 2.8
F2累加速度图面积法（物理直觉）
物理直觉 累积量
把 $f$ 视为速度，则定积分 $\int_a^b f(x)\,dx$ 是总位移
依据：物理意义
位移也等于末位置减初位置：$F(b)-F(a)$
依据：位置函数的定义
两者相等，故 $\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$ 成立（严格化需回到 F1）
依据：意义一致性
教学注：作为导入与动机极佳；务必标注严格化需 F1。
直观性 4.6 · 可教性 2.4 · 严谨性 4.1 · 衔接性 2.0 · 综合 3.3
二、证明对比矩阵（可教性四维初评）
证明对比矩阵：微积分基本定理（Newton-Leibniz 公式）
> 定理陈述：设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，$F$ 为 $f$ 的一个原函数，则 $\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$。
| 证明 | 视角 | 直观性 | 可教性 | 严谨性 | 衔接性 | 综合 | 最佳用途 |
|---|
| F1 | 变上限函数求导法（标准） | 2.0 | 2.6 | 4.4 | 2.0 | 2.8 | 课堂首选讲解 |
| F2 | 累加速度图面积法（物理直觉） | 4.6 | 2.4 | 4.1 | 2.0 | 3.3 | 动画/导入素材 |
教学建议
- 严谨主干讲法：取「标准/经典」路径作为逻辑主干（矩阵中标记「课堂首选讲解」）
- 导入/首选讲法：F1（可教性最高，建议作为课堂第一讲法，再回溯严谨主干）
- 直觉/导入素材：F2，配合 GeoGebra 动态演示
- 评审训练设计：把最严谨证明中的某一步依据隐去，让学生评审员找出跳步位置（对接错题分析 Skill 的误区库）
- 消融衔接：讲完首选证明后追问「每个条件用在证明的哪一步？」——自然过渡到 ablation-experiment-skill
典型误区预警
三、学生工作单（可打印）
证明评审员工作单：微积分基本定理（Newton-Leibniz 公式）
班级：本科一年级 日期：2026-10-14 姓名：＿＿＿＿＿＿
一、角色卡
> 你现在是 证明评审委员会 委员。今天有若干份「微积分基本定理（Newton-Leibniz 公式）」的证明送到你桌上，作者分别声称自己的讲法最清楚。你的任务不是做题，而是像审稿人一样裁决哪份证明最值得进教材。
定理陈述：设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，$F$ 为 $f$ 的一个原函数，则 $\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$。
二、评审任务
请通读证明包中的每一条证明，完成：
- 挑错：找出每一条证明中最不清楚的一步，圈出并写批注；
- 追问：对每条证明写出一个为什么式追问（如：辅助函数为什么这样构造？）；
- 对比：哪条证明你最愿意讲给同桌听？为什么？
| 证明编号 | 视角 | 综合分(1-5) | 最不清楚的一步 | 你的追问 |
|---|
| F1 | 变上限函数求导法（标准） | | | |
| F2 | 累加速度图面积法（物理直觉） | | | |
三、评分量规（供你裁决时参考）
| 维度 | 关键问题 | 权重 |
|---|
| 逻辑严密性 | 每一步是否有依据？有无循环论证或偷换条件？ | 25% |
| 清晰性 | 一个同学读一遍能否复述出证明思路？ | 25% |
| 直观性 | 是否说明了为什么会想到这一步？ | 25% |
| 可迁移性 | 这套思路能否用到别的定理？ | 25% |
四、开放阐释任务（核心）
陶哲轩在《数学 2.0》中指出：AI 已能生成正确的证明，但让证明被人理解是人类不可替代的工作。现在轮到你：
任务 A（必做）：不看任何材料，用 150-200 字写出「微积分基本定理（Newton-Leibniz 公式）」的直觉解释。
要求：一个完全没学过这一定理的人读完能明白它在说什么、为什么可信。允许不严格，但必须标出哪里需要严格化。
任务 B（选做）：尝试构造第 4 种讲法（图像/物理情境/反证均可），
并说明它比给定证明好在哪里、差在哪里。
五、消融追问（衔接消融实验课）
观察每条证明中条件被使用的具体位置，回答：
> 如果把定理的某个条件去掉，证明的哪一步最先崩掉？你预测会发生什么？
把你的预测写在下面，下节课用消融实验模块验证：
预测：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
六、自评
- 我今天能不看资料复述定理证明思路： 能 / 基本能 / 不能
- 我发现的最多的一类问题： 跳步 / 术语不清 / 直觉缺失 / 其他＿＿＿
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