预测

• 只给定理与'将要做实验'的预告，不展示反例。
• 如果去掉【在 $x_0$ 可导】，你认为结论还成立吗？先投票，再写下你的理由。；回看证明，指出【在 $x_0$ 可导】在哪一步被用到？（步骤编号见证明包）；若结论不再成立，你猜反例会'长什么样'？（间断？尖点？振荡？）；若结论碰巧仍成立，这说明条件'不可少'还是'可减弱'？两者有什么区别？
• True

验证

• name：$|x|$ 在 $x_0=0$；ggb_def：f(x) = Abs(x)；interval：-1；1；explain：$x_0=0$ 处取极小值，但左导数 $-1$、右导数 $+1$，不可导。崩塌点：可导性。
• 尖点处无水平切线，两侧差商极限不相等
• 费马引理最后一步要求可导
• f(x) = Abs(x)
• 在 GeoGebra 中运行反例脚本，拖动/缩放观察；找出'第一个塌掉的步骤'，与预测对照；修改反例的一个特征（位置/幅度/个数），结论何时'复活'？

反思

• 尖点处若恰好水平呢？（退化情形，仍不可导）
• 崩塌发生在证明的哪一步？那一步用了被去掉的条件吗？；如果把被去掉的条件'弱化'而不是删除，哪一步还能撑住？；这个反例能帮你识别 AI 证明里的哪类偷换条件？

迁移

• 从本定理出发，仿照本次实验，为另一个定理设计一次消融实验（写出：去掉哪个条件、预测哪里崩、草拟反例）。
• 一页消融设计卡

GeoGebra 反例脚本（粘贴即用）

# ==================================================
# 消融实验可视化：$|x|$ 在 $x_0=0$
# 定理：fermat_lemma
# 去掉的条件：在 $x_0$ 可导
# 粘贴到 GeoGebra 经典版（CAS/绘图区均可逐行执行）
# ==================================================

# --- 1. 参数滑块：把反例的关键特征做成可拖动的参数 ---
a = -1
b = 1
t = Slider(-1, 1, 0.01)
k = Slider(0.1, 5, 0.1)

# --- 2. 反例函数（来自 theorem_library） ---
f(x) = Abs(x)

# --- 3. 参照对象：弦/平均线 ---
A = (-1, f(-1))
B = (1, f(1))
secant: Line(A, B)   # 弦：平均变化率的几何化身

# --- 4. 探索引导 ---
# ① 拖动 t：观察函数关键点移动时，弦与切线是否可能平行
# ② 调整 k：观察'崩塌程度'如何变化
# ③ 思考：把 t 拖回区间端点之外（修复条件）时，结论是否复活？

# --- 5. 复活实验（把条件'修回去'） ---
# 例（端点连续性消融）：把 f 的跳跃改成连续过渡，例如
#   f_fix(x) = If(x < t, x, k*t + (x - t)/(b - t)*(f(b) - k*t))
# 观察：连续性修复后，必存在切点与弦平行（拉格朗日'复活'）

预测

• 只给定理与'将要做实验'的预告，不展示反例。
• 如果去掉【$x_0$ 为内点】，你认为结论还成立吗？先投票，再写下你的理由。；回看证明，指出【$x_0$ 为内点】在哪一步被用到？（步骤编号见证明包）；若结论不再成立，你猜反例会'长什么样'？（间断？尖点？振荡？）；若结论碰巧仍成立，这说明条件'不可少'还是'可减弱'？两者有什么区别？
• True

验证

• name：$x$ 在 $[0,1]$ 的右端点；ggb_def：f(x) = x；interval：0；1；explain：$f$ 在 $x=1$ 取最大值，但 $f'(1)=1\ne0$。崩塌点：非内点。
• 端点处只有单侧，极值点导数不必为 0
• 内点条件保证双侧差商
• f(x) = x
• 在 GeoGebra 中运行反例脚本，拖动/缩放观察；找出'第一个塌掉的步骤'，与预测对照；修改反例的一个特征（位置/幅度/个数），结论何时'复活'？

反思

• 罗尔定理为何要求端点值相等才能保证内点极值？
• 崩塌发生在证明的哪一步？那一步用了被去掉的条件吗？；如果把被去掉的条件'弱化'而不是删除，哪一步还能撑住？；这个反例能帮你识别 AI 证明里的哪类偷换条件？

迁移

• 从本定理出发，仿照本次实验，为另一个定理设计一次消融实验（写出：去掉哪个条件、预测哪里崩、草拟反例）。
• 一页消融设计卡

GeoGebra 反例脚本（粘贴即用）

# ==================================================
# 消融实验可视化：$x$ 在 $[0,1]$ 的右端点
# 定理：fermat_lemma
# 去掉的条件：$x_0$ 为内点
# 粘贴到 GeoGebra 经典版（CAS/绘图区均可逐行执行）
# ==================================================

# --- 1. 参数滑块：把反例的关键特征做成可拖动的参数 ---
a = 0
b = 1
t = Slider(0, 1, 0.01)
k = Slider(0.1, 5, 0.1)

# --- 2. 反例函数（来自 theorem_library） ---
f(x) = x

# --- 3. 参照对象：弦/平均线 ---
A = (0, f(0))
B = (1, f(1))
secant: Line(A, B)   # 弦：平均变化率的几何化身

# --- 4. 探索引导 ---
# ① 拖动 t：观察函数关键点移动时，弦与切线是否可能平行
# ② 调整 k：观察'崩塌程度'如何变化
# ③ 思考：把 t 拖回区间端点之外（修复条件）时，结论是否复活？

# --- 5. 复活实验（把条件'修回去'） ---
# 例（端点连续性消融）：把 f 的跳跃改成连续过渡，例如
#   f_fix(x) = If(x < t, x, k*t + (x - t)/(b - t)*(f(b) - k*t))
# 观察：连续性修复后，必存在切点与弦平行（拉格朗日'复活'）