预测

• 只给定理与'将要做实验'的预告，不展示反例。
• 如果去掉【闭区间（改为开区间）】，你认为结论还成立吗？先投票，再写下你的理由。；回看证明，指出【闭区间（改为开区间）】在哪一步被用到？（步骤编号见证明包）；若结论不再成立，你猜反例会'长什么样'？（间断？尖点？振荡？）；若结论碰巧仍成立，这说明条件'不可少'还是'可减弱'？两者有什么区别？
• True

验证

• name：$1/x$ 在 $(0,1)$；ggb_def：f(x) = 1/x；interval：0.001；1；explain：取 $\varepsilon=1$：对任意 $\delta>0$，取 $x_1=\frac{\delta}{1+\delta},\ x_2=\delta$，则 $|x_1-x_2|<\delta$ 但 $|f(x_1)-f(x_2)|=1\ge\varepsilon$。崩塌点：区间不闭、端点附近无界。
• 开区间端点附近 $\delta$ 无法统一，越靠近端点需要越小的 $\delta$
• 有限覆盖依赖闭区间（紧集）
• f(x) = 1/x
• 在 GeoGebra 中运行反例脚本，拖动/缩放观察；找出'第一个塌掉的步骤'，与预测对照；修改反例的一个特征（位置/幅度/个数），结论何时'复活'？

反思

• 把 $(0,1)$ 换成 $[0,1]$ 呢？（连续 ⇒ 一致连续，成立）；有界开区间还需补什么条件？（端点单侧极限存在 + 有界）
• 崩塌发生在证明的哪一步？那一步用了被去掉的条件吗？；如果把被去掉的条件'弱化'而不是删除，哪一步还能撑住？；这个反例能帮你识别 AI 证明里的哪类偷换条件？

迁移

• 从本定理出发，仿照本次实验，为另一个定理设计一次消融实验（写出：去掉哪个条件、预测哪里崩、草拟反例）。
• 一页消融设计卡

GeoGebra 反例脚本（粘贴即用）

# ==================================================
# 消融实验可视化：$1/x$ 在 $(0,1)$
# 定理：cantor_uniform
# 去掉的条件：闭区间（改为开区间）
# 粘贴到 GeoGebra 经典版（CAS/绘图区均可逐行执行）
# ==================================================

# --- 1. 参数滑块：把反例的关键特征做成可拖动的参数 ---
a = 0.001
b = 1
t = Slider(0.001, 1, 0.01)
k = Slider(0.1, 5, 0.1)

# --- 2. 反例函数（来自 theorem_library） ---
f(x) = 1/x

# --- 3. 参照对象：弦/平均线 ---
A = (0.001, f(0.001))
B = (1, f(1))
secant: Line(A, B)   # 弦：平均变化率的几何化身

# --- 4. 探索引导 ---
# ① 拖动 t：观察函数关键点移动时，弦与切线是否可能平行
# ② 调整 k：观察'崩塌程度'如何变化
# ③ 思考：把 t 拖回区间端点之外（修复条件）时，结论是否复活？

# --- 5. 复活实验（把条件'修回去'） ---
# 例（端点连续性消融）：把 f 的跳跃改成连续过渡，例如
#   f_fix(x) = If(x < t, x, k*t + (x - t)/(b - t)*(f(b) - k*t))
# 观察：连续性修复后，必存在切点与弦平行（拉格朗日'复活'）

预测

• 只给定理与'将要做实验'的预告，不展示反例。
• 如果去掉【连续性】，你认为结论还成立吗？先投票，再写下你的理由。；回看证明，指出【连续性】在哪一步被用到？（步骤编号见证明包）；若结论不再成立，你猜反例会'长什么样'？（间断？尖点？振荡？）；若结论碰巧仍成立，这说明条件'不可少'还是'可减弱'？两者有什么区别？
• True

验证

• name：$\sin(1/x)$ 在 $(0,1]$；ggb_def：f(x) = sin(1/x)；interval：0.0001；1；explain：在 $0$ 附近无限振荡：任意 $\delta$ 内可取到 $\sin(1/x)=1$ 与 $=0$ 的两点，$|\Delta f|=1$ 不随 $\delta$ 收缩。
• 无界振荡使任意小的区间内函数值仍大幅波动
• 连续性是逐点 $\delta$ 存在的前提
• f(x) = sin(1/x)
• 在 GeoGebra 中运行反例脚本，拖动/缩放观察；找出'第一个塌掉的步骤'，与预测对照；修改反例的一个特征（位置/幅度/个数），结论何时'复活'？

反思

• 闭区间上有界振荡一定连续吗？（不一定，需一致连续才排除振荡）
• 崩塌发生在证明的哪一步？那一步用了被去掉的条件吗？；如果把被去掉的条件'弱化'而不是删除，哪一步还能撑住？；这个反例能帮你识别 AI 证明里的哪类偷换条件？

迁移

• 从本定理出发，仿照本次实验，为另一个定理设计一次消融实验（写出：去掉哪个条件、预测哪里崩、草拟反例）。
• 一页消融设计卡

GeoGebra 反例脚本（粘贴即用）

# ==================================================
# 消融实验可视化：$\sin(1/x)$ 在 $(0,1]$
# 定理：cantor_uniform
# 去掉的条件：连续性
# 粘贴到 GeoGebra 经典版（CAS/绘图区均可逐行执行）
# ==================================================

# --- 1. 参数滑块：把反例的关键特征做成可拖动的参数 ---
a = 0.0001
b = 1
t = Slider(0.0001, 1, 0.01)
k = Slider(0.1, 5, 0.1)

# --- 2. 反例函数（来自 theorem_library） ---
f(x) = sin(1/x)

# --- 3. 参照对象：弦/平均线 ---
A = (0.0001, f(0.0001))
B = (1, f(1))
secant: Line(A, B)   # 弦：平均变化率的几何化身

# --- 4. 探索引导 ---
# ① 拖动 t：观察函数关键点移动时，弦与切线是否可能平行
# ② 调整 k：观察'崩塌程度'如何变化
# ③ 思考：把 t 拖回区间端点之外（修复条件）时，结论是否复活？

# --- 5. 复活实验（把条件'修回去'） ---
# 例（端点连续性消融）：把 f 的跳跃改成连续过渡，例如
#   f_fix(x) = If(x < t, x, k*t + (x - t)/(b - t)*(f(b) - k*t))
# 观察：连续性修复后，必存在切点与弦平行（拉格朗日'复活'）